MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdomd Unicode version

Theorem acsdomd 14300
Description: In an algebraic closure system, if  S and  T have the same closure and  S is infinite independent, then  T dominates  S. This follows from applying acsinfd 14299 and then applying unirnfdomd 8205 to the map given in acsmap2d 14298. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmap2d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsmap2d.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsmap2d.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
acsmap2d.4  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
acsmap2d.5  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
acsmap2d.6  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  ( N `
 T ) )
acsinfd.7  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
acsdomd  |-  ( ph  ->  S  ~<_  T )

Proof of Theorem acsdomd
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmap2d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
2 acsmap2d.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
3 acsmap2d.3 . . 3  |-  I  =  (mrInd `  A )
4 acsmap2d.4 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
5 acsmap2d.5 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
6 acsmap2d.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  ( N `
 T ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6acsmap2d 14298 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )
8 simprr 733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  S  =  U. ran  f )
9 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  f : T
--> ( ~P S  i^i  Fin ) )
10 inss2 3403 . . . . 5  |-  ( ~P S  i^i  Fin )  C_ 
Fin
11 fss 5413 . . . . 5  |-  ( ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  Fin )  ->  f : T --> Fin )
129, 10, 11sylancl 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  f : T
--> Fin )
13 acsinfd.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13acsinfd 14299 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  T  e.  Fin )
1514adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  -.  T  e.  Fin )
161adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
1716elfvexd 5572 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  X  e.  _V )
185adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  T  C_  X
)
1917, 18ssexd 4177 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  T  e.  _V )
2012, 15, 19unirnfdomd 8205 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  U. ran  f  ~<_  T )
218, 20eqbrtrd 4059 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  S  ~<_  T )
227, 21exlimddv 1628 1  |-  ( ph  ->  S  ~<_  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271    ~<_ cdom 6877   Fincfn 6879  mrClscmrc 13501  mrIndcmri 13502  ACScacs 13503
This theorem is referenced by:  acsinfdimd  14301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322  ax-inf2 7358  ax-ac2 8105  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-r1 7452  df-rank 7453  df-card 7588  df-acn 7591  df-ac 7759  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ocomp 13245  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-mri 13506  df-acs 13507  df-preset 14078  df-drs 14079  df-poset 14096  df-ipo 14271
  Copyright terms: Public domain W3C validator