MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdomd Structured version   Unicode version

Theorem acsdomd 15664
Description: In an algebraic closure system, if  S and  T have the same closure and  S is infinite independent, then  T dominates  S. This follows from applying acsinfd 15663 and then applying unirnfdomd 8938 to the map given in acsmap2d 15662. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmap2d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsmap2d.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsmap2d.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
acsmap2d.4  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
acsmap2d.5  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
acsmap2d.6  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  ( N `
 T ) )
acsinfd.7  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
acsdomd  |-  ( ph  ->  S  ~<_  T )

Proof of Theorem acsdomd
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmap2d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
2 acsmap2d.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
3 acsmap2d.3 . . 3  |-  I  =  (mrInd `  A )
4 acsmap2d.4 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
5 acsmap2d.5 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
6 acsmap2d.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  ( N `
 T ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6acsmap2d 15662 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )
8 simprr 756 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  S  =  U. ran  f )
9 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  f : T
--> ( ~P S  i^i  Fin ) )
10 inss2 3719 . . . . 5  |-  ( ~P S  i^i  Fin )  C_ 
Fin
11 fss 5737 . . . . 5  |-  ( ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  Fin )  ->  f : T --> Fin )
129, 10, 11sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  f : T
--> Fin )
13 acsinfd.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13acsinfd 15663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  T  e.  Fin )
1514adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  -.  T  e.  Fin )
161adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
1716elfvexd 5892 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  X  e.  _V )
185adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  T  C_  X
)
1917, 18ssexd 4594 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  T  e.  _V )
2012, 15, 19unirnfdomd 8938 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  U. ran  f  ~<_  T )
218, 20eqbrtrd 4467 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  S  ~<_  T )
227, 21exlimddv 1702 1  |-  ( ph  ->  S  ~<_  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   ran crn 5000   -->wf 5582   ` cfv 5586    ~<_ cdom 7511   Fincfn 7513  mrClscmrc 14834  mrIndcmri 14835  ACScacs 14836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-reg 8014  ax-inf2 8054  ax-ac2 8839  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-oi 7931  df-r1 8178  df-rank 8179  df-card 8316  df-acn 8319  df-ac 8493  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ocomp 14572  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-mri 14839  df-acs 14840  df-preset 15411  df-drs 15412  df-poset 15429  df-ipo 15635
This theorem is referenced by:  acsinfdimd  15665
  Copyright terms: Public domain W3C validator