MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdomd Structured version   Unicode version

Theorem acsdomd 16135
Description: In an algebraic closure system, if  S and  T have the same closure and  S is infinite independent, then  T dominates  S. This follows from applying acsinfd 16134 and then applying unirnfdomd 8974 to the map given in acsmap2d 16133. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmap2d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsmap2d.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsmap2d.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
acsmap2d.4  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
acsmap2d.5  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
acsmap2d.6  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  ( N `
 T ) )
acsinfd.7  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
acsdomd  |-  ( ph  ->  S  ~<_  T )

Proof of Theorem acsdomd
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmap2d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
2 acsmap2d.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
3 acsmap2d.3 . . 3  |-  I  =  (mrInd `  A )
4 acsmap2d.4 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
5 acsmap2d.5 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
6 acsmap2d.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  ( N `
 T ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6acsmap2d 16133 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )
8 simprr 758 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  S  =  U. ran  f )
9 simprl 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  f : T
--> ( ~P S  i^i  Fin ) )
10 inss2 3660 . . . . 5  |-  ( ~P S  i^i  Fin )  C_ 
Fin
11 fss 5722 . . . . 5  |-  ( ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  Fin )  ->  f : T --> Fin )
129, 10, 11sylancl 660 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  f : T
--> Fin )
13 acsinfd.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13acsinfd 16134 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  T  e.  Fin )
1514adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  -.  T  e.  Fin )
161adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
1716elfvexd 5877 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  X  e.  _V )
185adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  T  C_  X
)
1917, 18ssexd 4541 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  T  e.  _V )
2012, 15, 19unirnfdomd 8974 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  U. ran  f  ~<_  T )
218, 20eqbrtrd 4415 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  S  ~<_  T )
227, 21exlimddv 1747 1  |-  ( ph  ->  S  ~<_  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059    i^i cin 3413    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955   U.cuni 4191   class class class wbr 4395   ran crn 4824   -->wf 5565   ` cfv 5569    ~<_ cdom 7552   Fincfn 7554  mrClscmrc 15197  mrIndcmri 15198  ACScacs 15199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-reg 8052  ax-inf2 8091  ax-ac2 8875  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-oi 7969  df-r1 8214  df-rank 8215  df-card 8352  df-acn 8355  df-ac 8529  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ocomp 14930  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-mri 15202  df-acs 15203  df-preset 15881  df-drs 15882  df-poset 15899  df-ipo 16106
This theorem is referenced by:  acsinfdimd  16136
  Copyright terms: Public domain W3C validator