MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acoscos Structured version   Unicode version

Theorem acoscos 22949
Description: The arccosine function is an inverse to  cos. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acoscos  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
(arccos `  ( cos `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem acoscos
StepHypRef Expression
1 coscl 13716 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( cos `  A
)  e.  CC )
3 acosval 22939 . . 3  |-  ( ( cos `  A )  e.  CC  ->  (arccos `  ( cos `  A
) )  =  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  ( cos `  A ) ) ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
(arccos `  ( cos `  A ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  (arcsin `  ( cos `  A
) ) ) )
5 picn 22583 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  CC
6 halfcl 10760 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
8 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  A  e.  CC )
9 nncan 9844 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  A )
107, 8, 9sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  A )
1110fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( cos `  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) )  =  ( cos `  A ) )
12 subcl 9815 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  CC )
137, 8, 12sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  CC )
14 coshalfpim 22618 . . . . . . 7  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  -  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )  =  ( sin `  (
( pi  /  2
)  -  A ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( cos `  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) )  =  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
1611, 15eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( cos `  A
)  =  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
1716fveq2d 5868 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
(arcsin `  ( cos `  A ) )  =  (arcsin `  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) ) )
18 halfpire 22587 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
1918recni 9604 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
20 resub 12917 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  ( ( Re `  ( pi 
/  2 ) )  -  ( Re `  A ) ) )
2119, 8, 20sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( Re `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  ( ( Re `  ( pi 
/  2 ) )  -  ( Re `  A ) ) )
22 rere 12912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( pi  /  2
) )
2318, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2423oveq1i 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  ( pi 
/  2 ) )  -  ( Re `  A ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  A )
)
2521, 24syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( Re `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  ( ( pi  /  2 )  -  ( Re `  A ) ) )
26 recl 12900 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
2726adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
28 resubcl 9879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  A )
)  e.  RR )
2918, 27, 28sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  A )
)  e.  RR )
3018a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( pi  /  2
)  e.  RR )
31 neghalfpire 22588 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  -u ( pi  /  2
)  e.  RR )
33 eliooord 11580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
0  <  ( Re `  A )  /\  (
Re `  A )  <  pi ) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( 0  <  (
Re `  A )  /\  ( Re `  A
)  <  pi )
)
3534simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( Re `  A
)  <  pi )
3619, 19subnegi 9894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  2 ) )
37 pidiv2halves 22590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
3836, 37eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  pi
3935, 38syl6breqr 4487 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( Re `  A
)  <  ( (
pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) ) )
4027, 30, 32, 39ltsub13d 10154 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  -u ( pi  /  2
)  <  ( (
pi  /  2 )  -  ( Re `  A ) ) )
4134simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
0  <  ( Re `  A ) )
42 ltsubpos 10040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( Re `  A
)  <->  ( ( pi 
/  2 )  -  ( Re `  A ) )  <  ( pi 
/  2 ) ) )
4327, 18, 42sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( 0  <  (
Re `  A )  <->  ( ( pi  /  2
)  -  ( Re
`  A ) )  <  ( pi  / 
2 ) ) )
4441, 43mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  A )
)  <  ( pi  /  2 ) )
4531rexri 9642 . . . . . . . 8  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
4618rexri 9642 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
47 elioo2 11566 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  -  ( Re `  A ) )  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  ( Re `  A ) )  e.  RR  /\  -u ( pi  /  2
)  <  ( (
pi  /  2 )  -  ( Re `  A ) )  /\  ( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  A )
)  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
4845, 46, 47mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  ( Re
`  A ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
( pi  /  2
)  -  ( Re
`  A ) )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  ( ( pi 
/  2 )  -  ( Re `  A ) )  /\  ( ( pi  /  2 )  -  ( Re `  A ) )  < 
( pi  /  2
) ) )
4929, 40, 44, 48syl3anbrc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  A )
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
5025, 49eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( Re `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
51 asinsin 22948 . . . . 5  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( ( pi  /  2 )  -  A ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )
5213, 50, 51syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
(arcsin `  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )
5317, 52eqtr2d 2509 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  =  (arcsin `  ( cos `  A ) ) )
5419a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( pi  /  2
)  e.  CC )
55 asincl 22929 . . . . 5  |-  ( ( cos `  A )  e.  CC  ->  (arcsin `  ( cos `  A
) )  e.  CC )
562, 55syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
(arcsin `  ( cos `  A ) )  e.  CC )
57 subsub23 9821 . . . 4  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  (arcsin `  ( cos `  A
) )  e.  CC )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  -  A )  =  (arcsin `  ( cos `  A ) )  <->  ( (
pi  /  2 )  -  (arcsin `  ( cos `  A ) ) )  =  A ) )
5854, 8, 56, 57syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  =  (arcsin `  ( cos `  A
) )  <->  ( (
pi  /  2 )  -  (arcsin `  ( cos `  A ) ) )  =  A ) )
5953, 58mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  (arcsin `  ( cos `  A
) ) )  =  A )
604, 59eqtrd 2508 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
(arccos `  ( cos `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488    + caddc 9491   RR*cxr 9623    < clt 9624    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   2c2 10581   (,)cioo 11525   Recre 12887   sincsin 13654   cosccos 13655   picpi 13657  arcsincasin 22918  arccoscacos 22919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-fac 12316  df-bc 12343  df-hash 12368  df-shft 12857  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-limsup 13250  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-ef 13658  df-sin 13660  df-cos 13661  df-pi 13663  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-nei 19362  df-lp 19400  df-perf 19401  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-haus 19579  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-cncf 21114  df-limc 22002  df-dv 22003  df-log 22669  df-asin 22921  df-acos 22922
This theorem is referenced by:  acoscosb  22954
  Copyright terms: Public domain W3C validator