MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acoscos Structured version   Unicode version

Theorem acoscos 22300
Description: The arccosine function is an inverse to  cos. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acoscos  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
(arccos `  ( cos `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem acoscos
StepHypRef Expression
1 coscl 13423 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( cos `  A
)  e.  CC )
3 acosval 22290 . . 3  |-  ( ( cos `  A )  e.  CC  ->  (arccos `  ( cos `  A
) )  =  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  ( cos `  A ) ) ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
(arccos `  ( cos `  A ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  (arcsin `  ( cos `  A
) ) ) )
5 picn 21934 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  CC
6 halfcl 10562 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
8 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  A  e.  CC )
9 nncan 9650 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  A )
107, 8, 9sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  A )
1110fveq2d 5707 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( cos `  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) )  =  ( cos `  A ) )
12 subcl 9621 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  CC )
137, 8, 12sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  CC )
14 coshalfpim 21969 . . . . . . 7  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  -  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )  =  ( sin `  (
( pi  /  2
)  -  A ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( cos `  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) )  =  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
1611, 15eqtr3d 2477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( cos `  A
)  =  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
1716fveq2d 5707 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
(arcsin `  ( cos `  A ) )  =  (arcsin `  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) ) )
18 halfpire 21938 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
1918recni 9410 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
20 resub 12628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  ( ( Re `  ( pi 
/  2 ) )  -  ( Re `  A ) ) )
2119, 8, 20sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( Re `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  ( ( Re `  ( pi 
/  2 ) )  -  ( Re `  A ) ) )
22 rere 12623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( pi  /  2
) )
2318, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2423oveq1i 6113 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  ( pi 
/  2 ) )  -  ( Re `  A ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  A )
)
2521, 24syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( Re `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  ( ( pi  /  2 )  -  ( Re `  A ) ) )
26 recl 12611 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
2726adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
28 resubcl 9685 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  A )
)  e.  RR )
2918, 27, 28sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  A )
)  e.  RR )
3018a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( pi  /  2
)  e.  RR )
31 neghalfpire 21939 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  -u ( pi  /  2
)  e.  RR )
33 eliooord 11367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
0  <  ( Re `  A )  /\  (
Re `  A )  <  pi ) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( 0  <  (
Re `  A )  /\  ( Re `  A
)  <  pi )
)
3534simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( Re `  A
)  <  pi )
3619, 19subnegi 9699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  2 ) )
37 pidiv2halves 21941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
3836, 37eqtri 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  pi
3935, 38syl6breqr 4344 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( Re `  A
)  <  ( (
pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) ) )
4027, 30, 32, 39ltsub13d 9957 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  -u ( pi  /  2
)  <  ( (
pi  /  2 )  -  ( Re `  A ) ) )
4134simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
0  <  ( Re `  A ) )
42 ltsubpos 9843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( Re `  A
)  <->  ( ( pi 
/  2 )  -  ( Re `  A ) )  <  ( pi 
/  2 ) ) )
4327, 18, 42sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( 0  <  (
Re `  A )  <->  ( ( pi  /  2
)  -  ( Re
`  A ) )  <  ( pi  / 
2 ) ) )
4441, 43mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  A )
)  <  ( pi  /  2 ) )
4531rexri 9448 . . . . . . . 8  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
4618rexri 9448 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
47 elioo2 11353 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  -  ( Re `  A ) )  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  ( Re `  A ) )  e.  RR  /\  -u ( pi  /  2
)  <  ( (
pi  /  2 )  -  ( Re `  A ) )  /\  ( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  A )
)  <  ( pi  /  2 ) ) ) )
4845, 46, 47mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  ( Re
`  A ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
( pi  /  2
)  -  ( Re
`  A ) )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  ( ( pi 
/  2 )  -  ( Re `  A ) )  /\  ( ( pi  /  2 )  -  ( Re `  A ) )  < 
( pi  /  2
) ) )
4929, 40, 44, 48syl3anbrc 1172 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  A )
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
5025, 49eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( Re `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
51 asinsin 22299 . . . . 5  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( ( pi  /  2 )  -  A ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )
5213, 50, 51syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
(arcsin `  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )
5317, 52eqtr2d 2476 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  =  (arcsin `  ( cos `  A ) ) )
5419a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( pi  /  2
)  e.  CC )
55 asincl 22280 . . . . 5  |-  ( ( cos `  A )  e.  CC  ->  (arcsin `  ( cos `  A
) )  e.  CC )
562, 55syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
(arcsin `  ( cos `  A ) )  e.  CC )
57 subsub23 9627 . . . 4  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  (arcsin `  ( cos `  A
) )  e.  CC )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  -  A )  =  (arcsin `  ( cos `  A ) )  <->  ( (
pi  /  2 )  -  (arcsin `  ( cos `  A ) ) )  =  A ) )
5854, 8, 56, 57syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  =  (arcsin `  ( cos `  A
) )  <->  ( (
pi  /  2 )  -  (arcsin `  ( cos `  A ) ) )  =  A ) )
5953, 58mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  (arcsin `  ( cos `  A
) ) )  =  A )
604, 59eqtrd 2475 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( 0 (,) pi ) )  -> 
(arccos `  ( cos `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294    + caddc 9297   RR*cxr 9429    < clt 9430    - cmin 9607   -ucneg 9608    / cdiv 10005   2c2 10383   (,)cioo 11312   Recre 12598   sincsin 13361   cosccos 13362   picpi 13364  arcsincasin 22269  arccoscacos 22270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-fac 12064  df-bc 12091  df-hash 12116  df-shft 12568  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-limsup 12961  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-sum 13176  df-ef 13365  df-sin 13367  df-cos 13368  df-pi 13370  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-lp 18752  df-perf 18753  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-haus 18931  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-cncf 20466  df-limc 21353  df-dv 21354  df-log 22020  df-asin 22272  df-acos 22273
This theorem is referenced by:  acoscosb  22305
  Copyright terms: Public domain W3C validator