Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acosbnd Structured version   Unicode version

Theorem acosbnd 23717
 Description: The arccosine function has range within a vertical strip of the complex plane with real part between and . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acosbnd arccos

Proof of Theorem acosbnd
StepHypRef Expression
1 acosval 23700 . . . 4 arccos arcsin
21fveq2d 5876 . . 3 arccos arcsin
3 halfpire 23310 . . . . . 6
43recni 9644 . . . . 5
5 asincl 23690 . . . . 5 arcsin
6 resub 13158 . . . . 5 arcsin arcsin arcsin
74, 5, 6sylancr 667 . . . 4 arcsin arcsin
8 rere 13153 . . . . . 6
93, 8ax-mp 5 . . . . 5
109oveq1i 6306 . . . 4 arcsin arcsin
117, 10syl6eq 2477 . . 3 arcsin arcsin
122, 11eqtrd 2461 . 2 arccos arcsin
135recld 13225 . . . 4 arcsin
14 resubcl 9927 . . . 4 arcsin arcsin
153, 13, 14sylancr 667 . . 3 arcsin
16 asinbnd 23716 . . . . . 6 arcsin
17 neghalfpire 23311 . . . . . . 7
1817, 3elicc2i 11689 . . . . . 6 arcsin arcsin arcsin arcsin
1916, 18sylib 199 . . . . 5 arcsin arcsin arcsin
2019simp3d 1019 . . . 4 arcsin
21 subge0 10116 . . . . 5 arcsin arcsin arcsin
223, 13, 21sylancr 667 . . . 4 arcsin arcsin
2320, 22mpbird 235 . . 3 arcsin
243a1i 11 . . . 4
25 pire 23304 . . . . 5
2625a1i 11 . . . 4
2725recni 9644 . . . . . 6
2817recni 9644 . . . . . 6
2927, 4negsubi 9941 . . . . . . 7
30 pidiv2halves 23313 . . . . . . . 8
3127, 4, 4, 30subaddrii 9953 . . . . . . 7
3229, 31eqtri 2449 . . . . . 6
334, 27, 28, 32subaddrii 9953 . . . . 5
3419simp2d 1018 . . . . 5 arcsin
3533, 34syl5eqbr 4450 . . . 4 arcsin
3624, 26, 13, 35subled 10205 . . 3 arcsin
37 0re 9632 . . . 4
3837, 25elicc2i 11689 . . 3 arcsin arcsin arcsin arcsin
3915, 23, 36, 38syl3anbrc 1189 . 2 arcsin
4012, 39eqeltrd 2508 1 arccos
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   w3a 982   wceq 1437   wcel 1867   class class class wbr 4417  cfv 5592  (class class class)co 6296  cc 9526  cr 9527  cc0 9528   caddc 9531   cle 9665   cmin 9849  cneg 9850   cdiv 10258  c2 10648  cicc 11627  cre 13128  cpi 14086  arcsincasin 23679  arccoscacos 23680 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-fac 12446  df-bc 12474  df-hash 12502  df-shft 13098  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-limsup 13493  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-ef 14088  df-sin 14090  df-cos 14091  df-pi 14093  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-hom 15166  df-cco 15167  df-rest 15273  df-topn 15274  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-topgen 15294  df-pt 15295  df-prds 15298  df-xrs 15352  df-qtop 15357  df-imas 15358  df-xps 15360  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-mulg 16620  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-fbas 18895  df-fg 18896  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cld 19958  df-ntr 19959  df-cls 19960  df-nei 20038  df-lp 20076  df-perf 20077  df-cn 20167  df-cnp 20168  df-haus 20255  df-tx 20501  df-hmeo 20694  df-fil 20785  df-fm 20877  df-flim 20878  df-flf 20879  df-xms 21259  df-ms 21260  df-tms 21261  df-cncf 21819  df-limc 22715  df-dv 22716  df-log 23397  df-asin 23682  df-acos 23683 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator