MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acosbnd Structured version   Unicode version

Theorem acosbnd 23717
Description: The arccosine function has range within a vertical strip of the complex plane with real part between  0 and  pi. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acosbnd  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  (arccos `  A
) )  e.  ( 0 [,] pi ) )

Proof of Theorem acosbnd
StepHypRef Expression
1 acosval 23700 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (arccos `  A )  =  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  A ) ) )
21fveq2d 5876 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  (arccos `  A
) )  =  ( Re `  ( ( pi  /  2 )  -  (arcsin `  A
) ) ) )
3 halfpire 23310 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
43recni 9644 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
5 asincl 23690 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  A )  e.  CC )
6 resub 13158 . . . . 5  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  (arcsin `  A )  e.  CC )  ->  (
Re `  ( (
pi  /  2 )  -  (arcsin `  A
) ) )  =  ( ( Re `  ( pi  /  2
) )  -  (
Re `  (arcsin `  A
) ) ) )
74, 5, 6sylancr 667 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( (
pi  /  2 )  -  (arcsin `  A
) ) )  =  ( ( Re `  ( pi  /  2
) )  -  (
Re `  (arcsin `  A
) ) ) )
8 rere 13153 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( pi  /  2
) )
93, 8ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
109oveq1i 6306 . . . 4  |-  ( ( Re `  ( pi 
/  2 ) )  -  ( Re `  (arcsin `  A ) ) )  =  ( ( pi  /  2 )  -  ( Re `  (arcsin `  A ) ) )
117, 10syl6eq 2477 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( (
pi  /  2 )  -  (arcsin `  A
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  (arcsin `  A
) ) ) )
122, 11eqtrd 2461 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  (arccos `  A
) )  =  ( ( pi  /  2
)  -  ( Re
`  (arcsin `  A )
) ) )
135recld 13225 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  (arcsin `  A
) )  e.  RR )
14 resubcl 9927 . . . 4  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( Re `  (arcsin `  A ) )  e.  RR )  ->  (
( pi  /  2
)  -  ( Re
`  (arcsin `  A )
) )  e.  RR )
153, 13, 14sylancr 667 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  -  ( Re
`  (arcsin `  A )
) )  e.  RR )
16 asinbnd 23716 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  (arcsin `  A
) )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )
17 neghalfpire 23311 . . . . . . 7  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
1817, 3elicc2i 11689 . . . . . 6  |-  ( ( Re `  (arcsin `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Re `  (arcsin `  A
) )  e.  RR  /\  -u ( pi  /  2
)  <_  ( Re `  (arcsin `  A )
)  /\  ( Re `  (arcsin `  A )
)  <_  ( pi  /  2 ) ) )
1916, 18sylib 199 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  (arcsin `  A ) )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  ( Re `  (arcsin `  A ) )  /\  ( Re `  (arcsin `  A ) )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
2019simp3d 1019 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  (arcsin `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) )
21 subge0 10116 . . . . 5  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( Re `  (arcsin `  A ) )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( (
pi  /  2 )  -  ( Re `  (arcsin `  A ) ) )  <->  ( Re `  (arcsin `  A ) )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
223, 13, 21sylancr 667 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <_  ( (
pi  /  2 )  -  ( Re `  (arcsin `  A ) ) )  <->  ( Re `  (arcsin `  A ) )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
2320, 22mpbird 235 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  (arcsin `  A
) ) ) )
243a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
25 pire 23304 . . . . 5  |-  pi  e.  RR
2625a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  pi  e.  RR )
2725recni 9644 . . . . . 6  |-  pi  e.  CC
2817recni 9644 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  CC
2927, 4negsubi 9941 . . . . . . 7  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  -  (
pi  /  2 ) )
30 pidiv2halves 23313 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
3127, 4, 4, 30subaddrii 9953 . . . . . . 7  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
3229, 31eqtri 2449 . . . . . 6  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
334, 27, 28, 32subaddrii 9953 . . . . 5  |-  ( ( pi  /  2 )  -  pi )  = 
-u ( pi  / 
2 )
3419simp2d 1018 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
pi  /  2 )  <_  ( Re `  (arcsin `  A ) ) )
3533, 34syl5eqbr 4450 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  -  pi )  <_  ( Re `  (arcsin `  A ) ) )
3624, 26, 13, 35subled 10205 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  -  ( Re
`  (arcsin `  A )
) )  <_  pi )
37 0re 9632 . . . 4  |-  0  e.  RR
3837, 25elicc2i 11689 . . 3  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  ( Re
`  (arcsin `  A )
) )  e.  ( 0 [,] pi )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  ( Re `  (arcsin `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  (arcsin `  A
) ) )  /\  ( ( pi  / 
2 )  -  (
Re `  (arcsin `  A
) ) )  <_  pi ) )
3915, 23, 36, 38syl3anbrc 1189 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  -  ( Re
`  (arcsin `  A )
) )  e.  ( 0 [,] pi ) )
4012, 39eqeltrd 2508 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  (arccos `  A
) )  e.  ( 0 [,] pi ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528    + caddc 9531    <_ cle 9665    - cmin 9849   -ucneg 9850    / cdiv 10258   2c2 10648   [,]cicc 11627   Recre 13128   picpi 14086  arcsincasin 23679  arccoscacos 23680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-fac 12446  df-bc 12474  df-hash 12502  df-shft 13098  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-limsup 13493  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-ef 14088  df-sin 14090  df-cos 14091  df-pi 14093  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-hom 15166  df-cco 15167  df-rest 15273  df-topn 15274  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-topgen 15294  df-pt 15295  df-prds 15298  df-xrs 15352  df-qtop 15357  df-imas 15358  df-xps 15360  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-mulg 16620  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-fbas 18895  df-fg 18896  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cld 19958  df-ntr 19959  df-cls 19960  df-nei 20038  df-lp 20076  df-perf 20077  df-cn 20167  df-cnp 20168  df-haus 20255  df-tx 20501  df-hmeo 20694  df-fil 20785  df-fm 20877  df-flim 20878  df-flf 20879  df-xms 21259  df-ms 21260  df-tms 21261  df-cncf 21819  df-limc 22715  df-dv 22716  df-log 23397  df-asin 23682  df-acos 23683
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator