Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  acongtr Structured version   Unicode version

Theorem acongtr 35534
Description: Transitivity of alternating congruence. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongtr  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  (
( A  ||  ( B  -  C )  \/  A  ||  ( B  -  -u C ) )  /\  ( A  ||  ( C  -  D
)  \/  A  ||  ( C  -  -u D
) ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )

Proof of Theorem acongtr
StepHypRef Expression
1 congtr 35521 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  D
) ) )  ->  A  ||  ( B  -  D ) )
213expa 1205 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  D )
)
32orcd 393 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
43ex 435 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  C
)  /\  A  ||  ( C  -  D )
)  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) ) )
5 simpll 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
6 znegcl 10972 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ZZ  ->  -u C  e.  ZZ )
7 znegcl 10972 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ZZ  ->  -u D  e.  ZZ )
86, 7anim12i 568 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ ) )
98ad2antlr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( -u C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ ) )
10 simplll 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  A  e.  ZZ )
11 simplrl 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  C  e.  ZZ )
12 simplrr 769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  D  e.  ZZ )
13 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  A  ||  ( C  -  D ) )
14 congsym 35524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( D  e.  ZZ  /\  A  ||  ( C  -  D
) ) )  ->  A  ||  ( D  -  C ) )
1510, 11, 12, 13, 14syl22anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  A  ||  ( D  -  C ) )
1615ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( C  -  D )  ->  A  ||  ( D  -  C ) ) )
17 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  CC )
1817adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  C  e.  CC )
19 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ZZ  ->  D  e.  CC )
2019adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  CC )
2118, 20neg2subd 10002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u C  -  -u D )  =  ( D  -  C ) )
2221adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( -u C  -  -u D
)  =  ( D  -  C ) )
2322eqcomd 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( D  -  C
)  =  ( -u C  -  -u D ) )
2423breq2d 4438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( D  -  C )  <->  A 
||  ( -u C  -  -u D ) ) )
2516, 24sylibd 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( C  -  D )  ->  A  ||  ( -u C  -  -u D ) ) )
2625anim2d 567 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( C  -  D )
)  ->  ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( -u C  -  -u D
) ) ) )
2726imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( -u C  -  -u D
) ) )
28 congtr 35521 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -u C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( -u C  -  -u D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  -u D ) )
295, 9, 27, 28syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  -u D ) )
3029olcd 394 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
3130ex 435 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( C  -  D )
)  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) ) )
32 simpll 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
337anim2i 571 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ ) )
3433ad2antlr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ ) )
35 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  C
)  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )
36 congtr 35521 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D
) ) )  ->  A  ||  ( B  -  -u D ) )
3732, 34, 35, 36syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  -u D ) )
3837olcd 394 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
3938ex 435 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  C
)  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) ) )
40 simpll 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
416anim1i 570 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )
4241ad2antlr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( -u C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )
43 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
44 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
4543, 44anim12i 568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
4645an42s 834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
4746adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
487adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  -> 
-u D  e.  ZZ )
4948ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  -u D  e.  ZZ )
50 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  A  ||  ( C  -  -u D ) )
51 congsym 35524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( -u D  e.  ZZ  /\  A  ||  ( C  -  -u D
) ) )  ->  A  ||  ( -u D  -  C ) )
5247, 49, 50, 51syl12anc 1262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  A  ||  ( -u D  -  C ) )
5352ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( C  -  -u D )  ->  A  ||  ( -u D  -  C ) ) )
5418negnegd 9976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  -> 
-u -u C  =  C )
5554oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u D  -  -u -u C )  =  (
-u D  -  C
) )
56 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u C  e.  ZZ  ->  -u C  e.  CC )
5756adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ )  ->  -u C  e.  CC )
588, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  -> 
-u C  e.  CC )
5920, 58neg2subd 10002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u D  -  -u -u C )  =  (
-u C  -  D
) )
6055, 59eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u D  -  C )  =  (
-u C  -  D
) )
6160adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( -u D  -  C
)  =  ( -u C  -  D )
)
6261breq2d 4438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( -u D  -  C )  <-> 
A  ||  ( -u C  -  D ) ) )
6353, 62sylibd 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( C  -  -u D )  ->  A  ||  ( -u C  -  D ) ) )
6463anim2d 567 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( -u C  -  D ) ) ) )
6564imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( -u C  -  D ) ) )
66 congtr 35521 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -u C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( -u C  -  D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  D )
)
6740, 42, 65, 66syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  D )
)
6867orcd 393 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
6968ex 435 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) ) )
704, 31, 39, 69ccased 955 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( A 
||  ( B  -  C )  \/  A  ||  ( B  -  -u C
) )  /\  ( A  ||  ( C  -  D )  \/  A  ||  ( C  -  -u D
) ) )  -> 
( A  ||  ( B  -  D )  \/  A  ||  ( B  -  -u D ) ) ) )
71703impia 1202 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  (
( A  ||  ( B  -  C )  \/  A  ||  ( B  -  -u C ) )  /\  ( A  ||  ( C  -  D
)  \/  A  ||  ( C  -  -u D
) ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   CCcc 9536    - cmin 9859   -ucneg 9860   ZZcz 10937    || cdvds 14283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-dvds 14284
This theorem is referenced by:  jm2.25lem1  35559  jm2.26  35563  jm2.27a  35566
  Copyright terms: Public domain W3C validator