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Theorem acongtr 30548
Description: Transitivity of alternating congruence. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongtr  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  (
( A  ||  ( B  -  C )  \/  A  ||  ( B  -  -u C ) )  /\  ( A  ||  ( C  -  D
)  \/  A  ||  ( C  -  -u D
) ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )

Proof of Theorem acongtr
StepHypRef Expression
1 congtr 30535 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  D
) ) )  ->  A  ||  ( B  -  D ) )
213expa 1196 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  D )
)
32orcd 392 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
43ex 434 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  C
)  /\  A  ||  ( C  -  D )
)  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) ) )
5 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
6 znegcl 10898 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ZZ  ->  -u C  e.  ZZ )
7 znegcl 10898 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ZZ  ->  -u D  e.  ZZ )
86, 7anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ ) )
98ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( -u C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ ) )
10 simplll 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  A  e.  ZZ )
11 simplrl 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  C  e.  ZZ )
12 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  D  e.  ZZ )
13 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  A  ||  ( C  -  D ) )
14 congsym 30538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( D  e.  ZZ  /\  A  ||  ( C  -  D
) ) )  ->  A  ||  ( D  -  C ) )
1510, 11, 12, 13, 14syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  A  ||  ( D  -  C ) )
1615ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( C  -  D )  ->  A  ||  ( D  -  C ) ) )
17 zcn 10869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  CC )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  C  e.  CC )
19 zcn 10869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ZZ  ->  D  e.  CC )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  CC )
2118, 20neg2subd 9947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u C  -  -u D )  =  ( D  -  C ) )
2221adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( -u C  -  -u D
)  =  ( D  -  C ) )
2322eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( D  -  C
)  =  ( -u C  -  -u D ) )
2423breq2d 4459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( D  -  C )  <->  A 
||  ( -u C  -  -u D ) ) )
2516, 24sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( C  -  D )  ->  A  ||  ( -u C  -  -u D ) ) )
2625anim2d 565 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( C  -  D )
)  ->  ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( -u C  -  -u D
) ) ) )
2726imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( -u C  -  -u D
) ) )
28 congtr 30535 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -u C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( -u C  -  -u D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  -u D ) )
295, 9, 27, 28syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  -u D ) )
3029olcd 393 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
3130ex 434 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( C  -  D )
)  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) ) )
32 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
337anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ ) )
3433ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ ) )
35 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  C
)  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )
36 congtr 30535 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D
) ) )  ->  A  ||  ( B  -  -u D ) )
3732, 34, 35, 36syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  -u D ) )
3837olcd 393 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
3938ex 434 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  C
)  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) ) )
40 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
416anim1i 568 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )
4241ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( -u C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )
43 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
44 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
4543, 44anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
4645an42s 825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
487adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  -> 
-u D  e.  ZZ )
4948ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  -u D  e.  ZZ )
50 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  A  ||  ( C  -  -u D ) )
51 congsym 30538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( -u D  e.  ZZ  /\  A  ||  ( C  -  -u D
) ) )  ->  A  ||  ( -u D  -  C ) )
5247, 49, 50, 51syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  A  ||  ( -u D  -  C ) )
5352ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( C  -  -u D )  ->  A  ||  ( -u D  -  C ) ) )
5418negnegd 9921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  -> 
-u -u C  =  C )
5554oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u D  -  -u -u C )  =  (
-u D  -  C
) )
56 zcn 10869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u C  e.  ZZ  ->  -u C  e.  CC )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ )  ->  -u C  e.  CC )
588, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  -> 
-u C  e.  CC )
5920, 58neg2subd 9947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u D  -  -u -u C )  =  (
-u C  -  D
) )
6055, 59eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u D  -  C )  =  (
-u C  -  D
) )
6160adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( -u D  -  C
)  =  ( -u C  -  D )
)
6261breq2d 4459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( -u D  -  C )  <-> 
A  ||  ( -u C  -  D ) ) )
6353, 62sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( C  -  -u D )  ->  A  ||  ( -u C  -  D ) ) )
6463anim2d 565 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( -u C  -  D ) ) ) )
6564imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( -u C  -  D ) ) )
66 congtr 30535 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -u C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( -u C  -  D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  D )
)
6740, 42, 65, 66syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  D )
)
6867orcd 392 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
6968ex 434 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) ) )
704, 31, 39, 69ccased 945 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( A 
||  ( B  -  C )  \/  A  ||  ( B  -  -u C
) )  /\  ( A  ||  ( C  -  D )  \/  A  ||  ( C  -  -u D
) ) )  -> 
( A  ||  ( B  -  D )  \/  A  ||  ( B  -  -u D ) ) ) )
71703impia 1193 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  (
( A  ||  ( B  -  C )  \/  A  ||  ( B  -  -u C ) )  /\  ( A  ||  ( C  -  D
)  \/  A  ||  ( C  -  -u D
) ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   CCcc 9490    - cmin 9805   -ucneg 9806   ZZcz 10864    || cdivides 13847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-dvds 13848
This theorem is referenced by:  jm2.25lem1  30572  jm2.26  30576  jm2.27a  30579
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