Theorem acongrep 30509

Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
acongrep	|- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )

Distinct variable groups:   A, a   N, a

Proof of Theorem acongrep

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 10682	. . . 4 |- 2 e. NN
2		simpl 457	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> A e. NN )
3		nnmulcl 10548	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. NN )
4	1, 2, 3	sylancr 663	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. A ) e. NN )
5		simpr 461	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
6		congrep 30502	. . 3 |- ( ( ( 2 x. A ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 661	. 2 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
8		elfzelz 11677	. . . . 5 |- ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) -> b e. ZZ )
9	8	zred 10955	. . . 4 |- ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) -> b e. RR )
10	9	ad2antrl 727	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> b e. RR )
11		nnre 10532	. . . 4 |- ( A e. NN -> A e. RR )
12	11	ad2antrr 725	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> A e. RR )
13		elfzle1 11678	. . . . . . 7 |- ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) -> 0 <_ b )
14	13	ad2antrl 727	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> 0 <_ b )
15	14	anim1i 568	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) )
16	8	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> b e. ZZ )
17		0zd 10865	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
18		nnz 10875	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
19	18	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> A e. ZZ )
20		elfz 11667	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( b e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) ) )
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1223	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( b e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) ) )
22	21	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( b e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) ) )
23	15, 22	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> b e. ( 0 ... A ) )
24		simplrr 760	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
25	24	orcd 392	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( ( 2 x. A ) || ( b - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( b - -u N ) ) )
26		id 22	. . . . . 6 |- ( a = b -> a = b )
27		eqidd 2461	. . . . . 6 |- ( a = b -> N = N )
28	26, 27	acongeq12d 30508	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) <-> ( ( 2 x. A ) || ( b - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( b - -u N ) ) ) )
29	28	rspcev 3207	. . . 4 |- ( ( b e. ( 0 ... A ) /\ ( ( 2 x. A ) || ( b - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( b - -u N ) ) ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
30	23, 25, 29	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
31		simplll 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> A e. NN )
32		simplrl 759	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) )
33		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> A <_ b )
34	9	3ad2ant2 1013	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b e. RR )
35		2re 10594	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
36		remulcl 9566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 2 x. A ) e. RR )
37	35, 11, 36	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( 2 x. A ) e. RR )
38	37	3ad2ant1 1012	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 2 x. A ) e. RR )
39		0zd 10865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> 0 e. ZZ )
40		2z 10885	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
41		zmulcl 10900	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
42	40, 18, 41	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
43	42	3ad2ant1 1012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
44		simp2 992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) )
45		elfzm11 11738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ ) -> ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) <-> ( b e. ZZ /\ 0 <_ b /\ b < ( 2 x. A ) ) ) )
46	45	biimpa 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ ) /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) ) -> ( b e. ZZ /\ 0 <_ b /\ b < ( 2 x. A ) ) )
47	39, 43, 44, 46	syl21anc 1222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( b e. ZZ /\ 0 <_ b /\ b < ( 2 x. A ) ) )
48	47	simp3d 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b < ( 2 x. A ) )
49	34, 38, 48	ltled 9721	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b <_ ( 2 x. A ) )
50	38, 34	subge0d 10131	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) <-> b <_ ( 2 x. A ) ) )
51	49, 50	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) )
52	11	3ad2ant1 1012	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> A e. RR )
53		nncn 10533	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> A e. CC )
54		2times 10643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
55	54	oveq1d 6290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. A ) - A ) = ( ( A + A ) - A ) )
56		pncan2 9816	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A + A ) - A ) = A )
57	56	anidms 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( A + A ) - A ) = A )
58	55, 57	eqtrd 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. A ) - A ) = A )
59	53, 58	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( ( 2 x. A ) - A ) = A )
60	59	3ad2ant1 1012	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - A ) = A )
61		simp3 993	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> A <_ b )
62	60, 61	eqbrtrd 4460	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - A ) <_ b )
63	38, 52, 34, 62	subled 10144	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A )
64	51, 63	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) )
65	31, 32, 33, 64	syl3anc 1223	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) )
66	40, 19, 41	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
67	66, 16	zsubcld 10960	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) e. ZZ )
68		elfz 11667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) ) )
69	67, 17, 19, 68	syl3anc 1223	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) ) )
70	69	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) ) )
71	65, 70	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) )
72		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> N e. ZZ )
73		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
74		congsym 30497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 2 x. A ) e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( N - b ) )
75	66, 16, 72, 73, 74	syl22anc 1224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( N - b ) )
76	72, 16	zsubcld 10960	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( N - b ) e. ZZ )
77		dvdsadd 13872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. A ) e. ZZ /\ ( N - b ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. A ) || ( N - b ) <-> ( 2 x. A ) || ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) ) )
78	66, 76, 77	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( 2 x. A ) || ( N - b ) <-> ( 2 x. A ) || ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) ) )
79	75, 78	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) )
80	67	zcnd 10956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) e. CC )
81		zcn 10858	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
82	81	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> N e. CC )
83	80, 82	subnegd 9926	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) = ( ( ( 2 x. A ) - b ) + N ) )
84	66	zcnd 10956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
85	10	recnd 9611	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> b e. CC )
86	84, 85, 82	subadd23d 9941	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) + N ) = ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) )
87	83, 86	eqtrd 2501	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) = ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) )
88	79, 87	breqtrrd 4466	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) )
89	88	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) )
90	89	olcd 393	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) ) )
91		id 22	. . . . . 6 |- ( a = ( ( 2 x. A ) - b ) -> a = ( ( 2 x. A ) - b ) )
92		eqidd 2461	. . . . . 6 |- ( a = ( ( 2 x. A ) - b ) -> N = N )
93	91, 92	acongeq12d 30508	. . . . 5 |- ( a = ( ( 2 x. A ) - b ) -> ( ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) <-> ( ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) ) ) )
94	93	rspcev 3207	. . . 4 |- ( ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) /\ ( ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) ) ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
95	71, 90, 94	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
96	10, 12, 30, 95	lecasei 9679	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
97	7, 96	rexlimddv 2952	1 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   E.wrex 2808   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9794   -ucneg 9795   NNcn 10525   2c2 10574   ZZcz 10853   ...cfz 11661   || cdivides 13836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fl 11886  df-mod 11953  df-dvds 13837

This theorem is referenced by:  jm2.26  30537