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Theorem acongrep 30509
Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongrep  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( 0 ... A ) ( ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  -u N
) ) )
Distinct variable groups:    A, a    N, a

Proof of Theorem acongrep
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10682 . . . 4  |-  2  e.  NN
2 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  NN )
3 nnmulcl 10548 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
41, 2, 3sylancr 663 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
5 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 congrep 30502 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) )
74, 5, 6syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) )
8 elfzelz 11677 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  ->  b  e.  ZZ )
98zred 10955 . . . 4  |-  ( b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  ->  b  e.  RR )
109ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
b  e.  RR )
11 nnre 10532 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
1211ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  A  e.  RR )
13 elfzle1 11678 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  ->  0  <_  b )
1413ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
0  <_  b )
1514anim1i 568 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  ( 0  <_  b  /\  b  <_  A ) )
168ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
b  e.  ZZ )
17 0zd 10865 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
0  e.  ZZ )
18 nnz 10875 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
1918ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  A  e.  ZZ )
20 elfz 11667 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
b  e.  ( 0 ... A )  <->  ( 0  <_  b  /\  b  <_  A ) ) )
2116, 17, 19, 20syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( b  e.  ( 0 ... A )  <-> 
( 0  <_  b  /\  b  <_  A ) ) )
2221adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  ( b  e.  ( 0 ... A
)  <->  ( 0  <_ 
b  /\  b  <_  A ) ) )
2315, 22mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  b  e.  ( 0 ... A
) )
24 simplrr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) )
2524orcd 392 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  ( (
2  x.  A ) 
||  ( b  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( b  -  -u N ) ) )
26 id 22 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
27 eqidd 2461 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  N  =  N )
2826, 27acongeq12d 30508 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  -u N
) )  <->  ( (
2  x.  A ) 
||  ( b  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( b  -  -u N ) ) ) )
2928rspcev 3207 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( 0 ... A )  /\  ( ( 2  x.  A )  ||  (
b  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
b  -  -u N
) ) )  ->  E. a  e.  (
0 ... A ) ( ( 2  x.  A
)  ||  ( a  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( a  -  -u N ) ) )
3023, 25, 29syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  E. a  e.  ( 0 ... A
) ( ( 2  x.  A )  ||  ( a  -  N
)  \/  ( 2  x.  A )  ||  ( a  -  -u N
) ) )
31 simplll 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  A  e.  NN )
32 simplrl 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ) )
33 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  A  <_  b )
3493ad2ant2 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
b  e.  RR )
35 2re 10594 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
36 remulcl 9566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
3735, 11, 36sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  x.  A )  e.  RR )
38373ad2ant1 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  RR )
39 0zd 10865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
0  e.  ZZ )
40 2z 10885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ZZ
41 zmulcl 10900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  ZZ )
4240, 18, 41sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  x.  A )  e.  ZZ )
43423ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  ZZ )
44 simp2 992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ) )
45 elfzm11 11738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  A
)  e.  ZZ )  ->  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  <->  ( b  e.  ZZ  /\  0  <_ 
b  /\  b  <  ( 2  x.  A ) ) ) )
4645biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  A
)  e.  ZZ )  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) )  ->  ( b  e.  ZZ  /\  0  <_ 
b  /\  b  <  ( 2  x.  A ) ) )
4739, 43, 44, 46syl21anc 1222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( b  e.  ZZ  /\  0  <_  b  /\  b  <  ( 2  x.  A ) ) )
4847simp3d 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
b  <  ( 2  x.  A ) )
4934, 38, 48ltled 9721 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
b  <_  ( 2  x.  A ) )
5038, 34subge0d 10131 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( 0  <_  (
( 2  x.  A
)  -  b )  <-> 
b  <_  ( 2  x.  A ) ) )
5149, 50mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
0  <_  ( (
2  x.  A )  -  b ) )
52113ad2ant1 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  ->  A  e.  RR )
53 nncn 10533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
54 2times 10643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
5554oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  -  A )  =  ( ( A  +  A )  -  A ) )
56 pncan2 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( A  +  A )  -  A
)  =  A )
5756anidms 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  A
)  -  A )  =  A )
5855, 57eqtrd 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  -  A )  =  A )
5953, 58syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 2  x.  A
)  -  A )  =  A )
60593ad2ant1 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  A
)  =  A )
61 simp3 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  ->  A  <_  b )
6260, 61eqbrtrd 4460 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  A
)  <_  b )
6338, 52, 34, 62subled 10144 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  b
)  <_  A )
6451, 63jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( 0  <_  (
( 2  x.  A
)  -  b )  /\  ( ( 2  x.  A )  -  b )  <_  A
) )
6531, 32, 33, 64syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( 0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  b )  /\  (
( 2  x.  A
)  -  b )  <_  A ) )
6640, 19, 41sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  ZZ )
6766, 16zsubcld 10960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  ZZ )
68 elfz 11667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  ( 0 ... A )  <->  ( 0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  b )  /\  (
( 2  x.  A
)  -  b )  <_  A ) ) )
6967, 17, 19, 68syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  -  b )  e.  ( 0 ... A )  <-> 
( 0  <_  (
( 2  x.  A
)  -  b )  /\  ( ( 2  x.  A )  -  b )  <_  A
) ) )
7069adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  b )  e.  ( 0 ... A )  <->  ( 0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  b )  /\  (
( 2  x.  A
)  -  b )  <_  A ) ) )
7165, 70mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( (
2  x.  A )  -  b )  e.  ( 0 ... A
) )
72 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  N  e.  ZZ )
73 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) )
74 congsym 30497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( N  -  b ) )
7566, 16, 72, 73, 74syl22anc 1224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( N  -  b ) )
7672, 16zsubcld 10960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( N  -  b
)  e.  ZZ )
77 dvdsadd 13872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  b
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  A )  ||  ( N  -  b
)  <->  ( 2  x.  A )  ||  (
( 2  x.  A
)  +  ( N  -  b ) ) ) )
7866, 76, 77syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  ||  ( N  -  b )  <->  ( 2  x.  A ) 
||  ( ( 2  x.  A )  +  ( N  -  b
) ) ) )
7975, 78mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( (
2  x.  A )  +  ( N  -  b ) ) )
8067zcnd 10956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  CC )
81 zcn 10858 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
8281ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  N  e.  CC )
8380, 82subnegd 9926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N
)  =  ( ( ( 2  x.  A
)  -  b )  +  N ) )
8466zcnd 10956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  CC )
8510recnd 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
b  e.  CC )
8684, 85, 82subadd23d 9941 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  -  b )  +  N
)  =  ( ( 2  x.  A )  +  ( N  -  b ) ) )
8783, 86eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N
)  =  ( ( 2  x.  A )  +  ( N  -  b ) ) )
8879, 87breqtrrd 4466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( (
( 2  x.  A
)  -  b )  -  -u N ) )
8988adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N
) )
9089olcd 393 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( (
2  x.  A ) 
||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N ) ) )
91 id 22 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( 2  x.  A )  -  b )  ->  a  =  ( ( 2  x.  A )  -  b ) )
92 eqidd 2461 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( 2  x.  A )  -  b )  ->  N  =  N )
9391, 92acongeq12d 30508 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( 2  x.  A )  -  b )  ->  (
( ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  -u N
) )  <->  ( (
2  x.  A ) 
||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N ) ) ) )
9493rspcev 3207 . . . 4  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  ( 0 ... A )  /\  ( ( 2  x.  A )  ||  (
( ( 2  x.  A )  -  b
)  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
( ( 2  x.  A )  -  b
)  -  -u N
) ) )  ->  E. a  e.  (
0 ... A ) ( ( 2  x.  A
)  ||  ( a  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( a  -  -u N ) ) )
9571, 90, 94syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  E. a  e.  ( 0 ... A
) ( ( 2  x.  A )  ||  ( a  -  N
)  \/  ( 2  x.  A )  ||  ( a  -  -u N
) ) )
9610, 12, 30, 95lecasei 9679 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  E. a  e.  (
0 ... A ) ( ( 2  x.  A
)  ||  ( a  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( a  -  -u N ) ) )
977, 96rexlimddv 2952 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( 0 ... A ) ( ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  -u N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2808   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   -ucneg 9795   NNcn 10525   2c2 10574   ZZcz 10853   ...cfz 11661    || cdivides 13836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fl 11886  df-mod 11953  df-dvds 13837
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