Theorem acongrep 29294

Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
acongrep	|- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )

Distinct variable groups:   A, a   N, a

Proof of Theorem acongrep

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 10471	. . . 4 |- 2 e. NN
2		simpl 457	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> A e. NN )
3		nnmulcl 10337	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. NN )
4	1, 2, 3	sylancr 663	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. A ) e. NN )
5		simpr 461	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
6		congrep 29287	. . 3 |- ( ( ( 2 x. A ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 661	. 2 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
8		elfzelz 11445	. . . . 5 |- ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) -> b e. ZZ )
9	8	zred 10739	. . . 4 |- ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) -> b e. RR )
10	9	ad2antrl 727	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> b e. RR )
11		nnre 10321	. . . 4 |- ( A e. NN -> A e. RR )
12	11	ad2antrr 725	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> A e. RR )
13		elfzle1 11446	. . . . . . 7 |- ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) -> 0 <_ b )
14	13	ad2antrl 727	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> 0 <_ b )
15	14	anim1i 568	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) )
16	8	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> b e. ZZ )
17		0zd 10650	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
18		nnz 10660	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
19	18	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> A e. ZZ )
20		elfz 11435	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( b e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) ) )
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( b e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) ) )
22	21	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( b e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) ) )
23	15, 22	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> b e. ( 0 ... A ) )
24		simplrr 760	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
25	24	orcd 392	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( ( 2 x. A ) || ( b - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( b - -u N ) ) )
26		id 22	. . . . . 6 |- ( a = b -> a = b )
27		eqidd 2439	. . . . . 6 |- ( a = b -> N = N )
28	26, 27	acongeq12d 29293	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) <-> ( ( 2 x. A ) || ( b - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( b - -u N ) ) ) )
29	28	rspcev 3068	. . . 4 |- ( ( b e. ( 0 ... A ) /\ ( ( 2 x. A ) || ( b - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( b - -u N ) ) ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
30	23, 25, 29	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
31		simplll 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> A e. NN )
32		simplrl 759	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) )
33		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> A <_ b )
34	9	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b e. RR )
35		2re 10383	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
36		remulcl 9359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 2 x. A ) e. RR )
37	35, 11, 36	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( 2 x. A ) e. RR )
38	37	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 2 x. A ) e. RR )
39		0zd 10650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> 0 e. ZZ )
40		2z 10670	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
41		zmulcl 10685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
42	40, 18, 41	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
43	42	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
44		simp2 989	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) )
45		elfzm11 11520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ ) -> ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) <-> ( b e. ZZ /\ 0 <_ b /\ b < ( 2 x. A ) ) ) )
46	45	biimpa 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ ) /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) ) -> ( b e. ZZ /\ 0 <_ b /\ b < ( 2 x. A ) ) )
47	39, 43, 44, 46	syl21anc 1217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( b e. ZZ /\ 0 <_ b /\ b < ( 2 x. A ) ) )
48	47	simp3d 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b < ( 2 x. A ) )
49	34, 38, 48	ltled 9514	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b <_ ( 2 x. A ) )
50	38, 34	subge0d 9921	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) <-> b <_ ( 2 x. A ) ) )
51	49, 50	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) )
52	11	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> A e. RR )
53		nncn 10322	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> A e. CC )
54		2times 10432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
55	54	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. A ) - A ) = ( ( A + A ) - A ) )
56		pncan2 9609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A + A ) - A ) = A )
57	56	anidms 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( A + A ) - A ) = A )
58	55, 57	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. A ) - A ) = A )
59	53, 58	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( ( 2 x. A ) - A ) = A )
60	59	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - A ) = A )
61		simp3 990	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> A <_ b )
62	60, 61	eqbrtrd 4307	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - A ) <_ b )
63	38, 52, 34, 62	subled 9934	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A )
64	51, 63	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) )
65	31, 32, 33, 64	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) )
66	40, 19, 41	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
67	66, 16	zsubcld 10744	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) e. ZZ )
68		elfz 11435	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) ) )
69	67, 17, 19, 68	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) ) )
70	69	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) ) )
71	65, 70	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) )
72		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> N e. ZZ )
73		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
74		congsym 29282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 2 x. A ) e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( N - b ) )
75	66, 16, 72, 73, 74	syl22anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( N - b ) )
76	72, 16	zsubcld 10744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( N - b ) e. ZZ )
77		dvdsadd 13563	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. A ) e. ZZ /\ ( N - b ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. A ) || ( N - b ) <-> ( 2 x. A ) || ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) ) )
78	66, 76, 77	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( 2 x. A ) || ( N - b ) <-> ( 2 x. A ) || ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) ) )
79	75, 78	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) )
80	67	zcnd 10740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) e. CC )
81		zcn 10643	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
82	81	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> N e. CC )
83	80, 82	subnegd 9718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) = ( ( ( 2 x. A ) - b ) + N ) )
84	66	zcnd 10740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
85	10	recnd 9404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> b e. CC )
86	84, 85, 82	subadd23d 9733	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) + N ) = ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) )
87	83, 86	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) = ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) )
88	79, 87	breqtrrd 4313	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) )
89	88	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) )
90	89	olcd 393	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) ) )
91		id 22	. . . . . 6 |- ( a = ( ( 2 x. A ) - b ) -> a = ( ( 2 x. A ) - b ) )
92		eqidd 2439	. . . . . 6 |- ( a = ( ( 2 x. A ) - b ) -> N = N )
93	91, 92	acongeq12d 29293	. . . . 5 |- ( a = ( ( 2 x. A ) - b ) -> ( ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) <-> ( ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) ) ) )
94	93	rspcev 3068	. . . 4 |- ( ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) /\ ( ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) ) ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
95	71, 90, 94	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
96	10, 12, 30, 95	lecasei 9472	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
97	7, 96	rexlimddv 2840	1 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2711   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   -ucneg 9588   NNcn 10314   2c2 10363   ZZcz 10638   ...cfz 11429   || cdivides 13527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fl 11634  df-mod 11701  df-dvds 13528

This theorem is referenced by:  jm2.26  29322