Theorem acongrep 35842

Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
acongrep	|- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )

Distinct variable groups:   A, a   N, a

Proof of Theorem acongrep

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 10774	. . . 4 |- 2 e. NN
2		simpl 459	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> A e. NN )
3		nnmulcl 10639	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. NN )
4	1, 2, 3	sylancr 670	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. A ) e. NN )
5		simpr 463	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
6		congrep 35835	. . 3 |- ( ( ( 2 x. A ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 667	. 2 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
8		elfzelz 11807	. . . . 5 |- ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) -> b e. ZZ )
9	8	zred 11047	. . . 4 |- ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) -> b e. RR )
10	9	ad2antrl 735	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> b e. RR )
11		nnre 10623	. . . 4 |- ( A e. NN -> A e. RR )
12	11	ad2antrr 733	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> A e. RR )
13		elfzle1 11809	. . . . . . 7 |- ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) -> 0 <_ b )
14	13	ad2antrl 735	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> 0 <_ b )
15	14	anim1i 572	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) )
16	8	ad2antrl 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> b e. ZZ )
17		0zd 10956	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
18		nnz 10966	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
19	18	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> A e. ZZ )
20		elfz 11797	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( b e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) ) )
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1269	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( b e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) ) )
22	21	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( b e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) ) )
23	15, 22	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> b e. ( 0 ... A ) )
24		simplrr 772	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
25	24	orcd 394	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( ( 2 x. A ) || ( b - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( b - -u N ) ) )
26		id 22	. . . . . 6 |- ( a = b -> a = b )
27		eqidd 2454	. . . . . 6 |- ( a = b -> N = N )
28	26, 27	acongeq12d 35841	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) <-> ( ( 2 x. A ) || ( b - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( b - -u N ) ) ) )
29	28	rspcev 3152	. . . 4 |- ( ( b e. ( 0 ... A ) /\ ( ( 2 x. A ) || ( b - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( b - -u N ) ) ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
30	23, 25, 29	syl2anc 667	. . 3 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
31		simplll 769	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> A e. NN )
32		simplrl 771	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) )
33		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> A <_ b )
34	9	3ad2ant2 1031	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b e. RR )
35		2re 10686	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
36		remulcl 9629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 2 x. A ) e. RR )
37	35, 11, 36	sylancr 670	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( 2 x. A ) e. RR )
38	37	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 2 x. A ) e. RR )
39		0zd 10956	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> 0 e. ZZ )
40		2z 10976	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
41		zmulcl 10992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
42	40, 18, 41	sylancr 670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
43	42	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
44		simp2 1010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) )
45		elfzm11 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ ) -> ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) <-> ( b e. ZZ /\ 0 <_ b /\ b < ( 2 x. A ) ) ) )
46	45	biimpa 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ ) /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) ) -> ( b e. ZZ /\ 0 <_ b /\ b < ( 2 x. A ) ) )
47	39, 43, 44, 46	syl21anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( b e. ZZ /\ 0 <_ b /\ b < ( 2 x. A ) ) )
48	47	simp3d 1023	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b < ( 2 x. A ) )
49	34, 38, 48	ltled 9788	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b <_ ( 2 x. A ) )
50	38, 34	subge0d 10210	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) <-> b <_ ( 2 x. A ) ) )
51	49, 50	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) )
52	11	3ad2ant1 1030	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> A e. RR )
53		nncn 10624	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> A e. CC )
54		2times 10735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
55	54	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. A ) - A ) = ( ( A + A ) - A ) )
56		pncan2 9887	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A + A ) - A ) = A )
57	56	anidms 651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( A + A ) - A ) = A )
58	55, 57	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. A ) - A ) = A )
59	53, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( ( 2 x. A ) - A ) = A )
60	59	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - A ) = A )
61		simp3 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> A <_ b )
62	60, 61	eqbrtrd 4426	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - A ) <_ b )
63	38, 52, 34, 62	subled 10223	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A )
64	51, 63	jca 535	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) )
65	31, 32, 33, 64	syl3anc 1269	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) )
66	40, 19, 41	sylancr 670	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
67	66, 16	zsubcld 11052	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) e. ZZ )
68		elfz 11797	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) ) )
69	67, 17, 19, 68	syl3anc 1269	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) ) )
70	69	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) ) )
71	65, 70	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) )
72		simplr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> N e. ZZ )
73		simprr 767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
74		congsym 35830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 2 x. A ) e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( N - b ) )
75	66, 16, 72, 73, 74	syl22anc 1270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( N - b ) )
76	72, 16	zsubcld 11052	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( N - b ) e. ZZ )
77		dvdsadd 14355	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. A ) e. ZZ /\ ( N - b ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. A ) || ( N - b ) <-> ( 2 x. A ) || ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) ) )
78	66, 76, 77	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( 2 x. A ) || ( N - b ) <-> ( 2 x. A ) || ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) ) )
79	75, 78	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) )
80	67	zcnd 11048	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) e. CC )
81		zcn 10949	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
82	81	ad2antlr 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> N e. CC )
83	80, 82	subnegd 9998	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) = ( ( ( 2 x. A ) - b ) + N ) )
84	66	zcnd 11048	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
85	10	recnd 9674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> b e. CC )
86	84, 85, 82	subadd23d 10013	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) + N ) = ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) )
87	83, 86	eqtrd 2487	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) = ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) )
88	79, 87	breqtrrd 4432	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) )
89	88	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) )
90	89	olcd 395	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) ) )
91		id 22	. . . . . 6 |- ( a = ( ( 2 x. A ) - b ) -> a = ( ( 2 x. A ) - b ) )
92		eqidd 2454	. . . . . 6 |- ( a = ( ( 2 x. A ) - b ) -> N = N )
93	91, 92	acongeq12d 35841	. . . . 5 |- ( a = ( ( 2 x. A ) - b ) -> ( ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) <-> ( ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) ) ) )
94	93	rspcev 3152	. . . 4 |- ( ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) /\ ( ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) ) ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
95	71, 90, 94	syl2anc 667	. . 3 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
96	10, 12, 30, 95	lecasei 9745	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
97	7, 96	rexlimddv 2885	1 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   E.wrex 2740   class class class wbr 4405  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   x. cmul 9549   < clt 9680   <_ cle 9681   - cmin 9865   -ucneg 9866   NNcn 10616   2c2 10666   ZZcz 10944   ...cfz 11791   || cdvds 14317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fl 12035  df-mod 12104  df-dvds 14318

This theorem is referenced by:  jm2.26  35869