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Mathbox for Stefan O'Rear |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > acongrep | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.) |
Ref | Expression |
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acongrep |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 2nn 10774 |
. . . 4
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2 | simpl 459 |
. . . 4
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3 | nnmulcl 10639 |
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4 | 1, 2, 3 | sylancr 670 |
. . 3
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5 | simpr 463 |
. . 3
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6 | congrep 35835 |
. . 3
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7 | 4, 5, 6 | syl2anc 667 |
. 2
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8 | elfzelz 11807 |
. . . . 5
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9 | 8 | zred 11047 |
. . . 4
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10 | 9 | ad2antrl 735 |
. . 3
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11 | nnre 10623 |
. . . 4
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12 | 11 | ad2antrr 733 |
. . 3
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13 | elfzle1 11809 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | ad2antrl 735 |
. . . . . 6
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15 | 14 | anim1i 572 |
. . . . 5
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16 | 8 | ad2antrl 735 |
. . . . . . 7
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17 | 0zd 10956 |
. . . . . . 7
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18 | nnz 10966 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | ad2antrr 733 |
. . . . . . 7
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20 | elfz 11797 |
. . . . . . 7
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21 | 16, 17, 19, 20 | syl3anc 1269 |
. . . . . 6
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22 | 21 | adantr 467 |
. . . . 5
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23 | 15, 22 | mpbird 236 |
. . . 4
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24 | simplrr 772 |
. . . . 5
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25 | 24 | orcd 394 |
. . . 4
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26 | id 22 |
. . . . . 6
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27 | eqidd 2454 |
. . . . . 6
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28 | 26, 27 | acongeq12d 35841 |
. . . . 5
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29 | 28 | rspcev 3152 |
. . . 4
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30 | 23, 25, 29 | syl2anc 667 |
. . 3
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31 | simplll 769 |
. . . . . 6
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32 | simplrl 771 |
. . . . . 6
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33 | simpr 463 |
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34 | 9 | 3ad2ant2 1031 |
. . . . . . . . 9
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35 | 2re 10686 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | remulcl 9629 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 35, 11, 36 | sylancr 670 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 37 | 3ad2ant1 1030 |
. . . . . . . . 9
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39 | 0zd 10956 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 2z 10976 |
. . . . . . . . . . . . 13
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41 | zmulcl 10992 |
. . . . . . . . . . . . 13
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42 | 40, 18, 41 | sylancr 670 |
. . . . . . . . . . . 12
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43 | 42 | 3ad2ant1 1030 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | simp2 1010 |
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45 | elfzm11 11872 |
. . . . . . . . . . . 12
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46 | 45 | biimpa 487 |
. . . . . . . . . . 11
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47 | 39, 43, 44, 46 | syl21anc 1268 |
. . . . . . . . . 10
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48 | 47 | simp3d 1023 |
. . . . . . . . 9
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49 | 34, 38, 48 | ltled 9788 |
. . . . . . . 8
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50 | 38, 34 | subge0d 10210 |
. . . . . . . 8
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51 | 49, 50 | mpbird 236 |
. . . . . . 7
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52 | 11 | 3ad2ant1 1030 |
. . . . . . . 8
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53 | nncn 10624 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 2times 10735 |
. . . . . . . . . . . . 13
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55 | 54 | oveq1d 6310 |
. . . . . . . . . . . 12
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56 | pncan2 9887 |
. . . . . . . . . . . . 13
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58 | 55, 57 | eqtrd 2487 |
. . . . . . . . . . 11
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59 | 53, 58 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
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60 | 59 | 3ad2ant1 1030 |
. . . . . . . . 9
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61 | simp3 1011 |
. . . . . . . . 9
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62 | 60, 61 | eqbrtrd 4426 |
. . . . . . . 8
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63 | 38, 52, 34, 62 | subled 10223 |
. . . . . . 7
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64 | 51, 63 | jca 535 |
. . . . . 6
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65 | 31, 32, 33, 64 | syl3anc 1269 |
. . . . 5
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66 | 40, 19, 41 | sylancr 670 |
. . . . . . . 8
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67 | 66, 16 | zsubcld 11052 |
. . . . . . 7
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68 | elfz 11797 |
. . . . . . 7
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69 | 67, 17, 19, 68 | syl3anc 1269 |
. . . . . 6
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70 | 69 | adantr 467 |
. . . . 5
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71 | 65, 70 | mpbird 236 |
. . . 4
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72 | simplr 763 |
. . . . . . . . 9
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73 | simprr 767 |
. . . . . . . . 9
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74 | congsym 35830 |
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75 | 66, 16, 72, 73, 74 | syl22anc 1270 |
. . . . . . . 8
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76 | 72, 16 | zsubcld 11052 |
. . . . . . . . 9
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77 | dvdsadd 14355 |
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78 | 66, 76, 77 | syl2anc 667 |
. . . . . . . 8
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79 | 75, 78 | mpbid 214 |
. . . . . . 7
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80 | 67 | zcnd 11048 |
. . . . . . . . 9
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81 | zcn 10949 |
. . . . . . . . . 10
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82 | 81 | ad2antlr 734 |
. . . . . . . . 9
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83 | 80, 82 | subnegd 9998 |
. . . . . . . 8
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84 | 66 | zcnd 11048 |
. . . . . . . . 9
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85 | 10 | recnd 9674 |
. . . . . . . . 9
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86 | 84, 85, 82 | subadd23d 10013 |
. . . . . . . 8
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87 | 83, 86 | eqtrd 2487 |
. . . . . . 7
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88 | 79, 87 | breqtrrd 4432 |
. . . . . 6
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89 | 88 | adantr 467 |
. . . . 5
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90 | 89 | olcd 395 |
. . . 4
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91 | id 22 |
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92 | eqidd 2454 |
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93 | 91, 92 | acongeq12d 35841 |
. . . . 5
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94 | 93 | rspcev 3152 |
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95 | 71, 90, 94 | syl2anc 667 |
. . 3
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96 | 10, 12, 30, 95 | lecasei 9745 |
. 2
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97 | 7, 96 | rexlimddv 2885 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1671 ax-4 1684 ax-5 1760 ax-6 1807 ax-7 1853 ax-8 1891 ax-9 1898 ax-10 1917 ax-11 1922 ax-12 1935 ax-13 2093 ax-ext 2433 ax-sep 4528 ax-nul 4537 ax-pow 4584 ax-pr 4642 ax-un 6588 ax-cnex 9600 ax-resscn 9601 ax-1cn 9602 ax-icn 9603 ax-addcl 9604 ax-addrcl 9605 ax-mulcl 9606 ax-mulrcl 9607 ax-mulcom 9608 ax-addass 9609 ax-mulass 9610 ax-distr 9611 ax-i2m1 9612 ax-1ne0 9613 ax-1rid 9614 ax-rnegex 9615 ax-rrecex 9616 ax-cnre 9617 ax-pre-lttri 9618 ax-pre-lttrn 9619 ax-pre-ltadd 9620 ax-pre-mulgt0 9621 ax-pre-sup 9622 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 987 df-3an 988 df-tru 1449 df-ex 1666 df-nf 1670 df-sb 1800 df-eu 2305 df-mo 2306 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2583 df-ne 2626 df-nel 2627 df-ral 2744 df-rex 2745 df-reu 2746 df-rmo 2747 df-rab 2748 df-v 3049 df-sbc 3270 df-csb 3366 df-dif 3409 df-un 3411 df-in 3413 df-ss 3420 df-pss 3422 df-nul 3734 df-if 3884 df-pw 3955 df-sn 3971 df-pr 3973 df-tp 3975 df-op 3977 df-uni 4202 df-iun 4283 df-br 4406 df-opab 4465 df-mpt 4466 df-tr 4501 df-eprel 4748 df-id 4752 df-po 4758 df-so 4759 df-fr 4796 df-we 4798 df-xp 4843 df-rel 4844 df-cnv 4845 df-co 4846 df-dm 4847 df-rn 4848 df-res 4849 df-ima 4850 df-pred 5383 df-ord 5429 df-on 5430 df-lim 5431 df-suc 5432 df-iota 5549 df-fun 5587 df-fn 5588 df-f 5589 df-f1 5590 df-fo 5591 df-f1o 5592 df-fv 5593 df-riota 6257 df-ov 6298 df-oprab 6299 df-mpt2 6300 df-om 6698 df-1st 6798 df-2nd 6799 df-wrecs 7033 df-recs 7095 df-rdg 7133 df-er 7368 df-en 7575 df-dom 7576 df-sdom 7577 df-sup 7961 df-inf 7962 df-pnf 9682 df-mnf 9683 df-xr 9684 df-ltxr 9685 df-le 9686 df-sub 9867 df-neg 9868 df-div 10277 df-nn 10617 df-2 10675 df-n0 10877 df-z 10945 df-uz 11167 df-rp 11310 df-fz 11792 df-fl 12035 df-mod 12104 df-dvds 14318 |
This theorem is referenced by: jm2.26 35869 |
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