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Theorem acongeq 26938
Description: Two numbers in the fundamental domain are alternating-congruent iff they are equal. TODO: could be used to shorten jm2.26 26963 (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongeq  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  =  C  <->  ( ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C
)  \/  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  -u C
) ) ) )

Proof of Theorem acongeq
StepHypRef Expression
1 2z 10268 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
2 nnz 10259 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
323ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  e.  ZZ )
4 zmulcl 10280 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  ZZ )
51, 3, 4sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  ZZ )
6 elfzelz 11015 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 ... A )  ->  B  e.  ZZ )
763ad2ant2 979 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  B  e.  ZZ )
8 congid 26926 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  A
)  ||  ( B  -  B ) )
95, 7, 8syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  B )
)
109adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  B  =  C )  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  B
) )
11 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  ( B  -  B )  =  ( B  -  C ) )
1211adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  B  =  C )  ->  ( B  -  B )  =  ( B  -  C ) )
1310, 12breqtrd 4196 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  B  =  C )  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C
) )
1413orcd 382 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  B  =  C )  ->  ( (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  C )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) ) )
15 elfzelz 11015 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( 0 ... A )  ->  C  e.  ZZ )
16153ad2ant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  C  e.  ZZ )
177, 16zsubcld 10336 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  -  C )  e.  ZZ )
1817zcnd 10332 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
1918abscld 12193 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  RR )
20 nnre 9963 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
21203ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  e.  RR )
22 0re 9047 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
23 resubcl 9321 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  -  0 )  e.  RR )
2421, 22, 23sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  - 
0 )  e.  RR )
25 2re 10025 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
26 remulcl 9031 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
2725, 21, 26sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
28 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  B  e.  ( 0 ... A ) )
29 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  C  e.  ( 0 ... A ) )
3024leidd 9549 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  - 
0 )  <_  ( A  -  0 ) )
31 fzmaxdif 26936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  ( A  -  0 )  <_  ( A  - 
0 ) )  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <_  ( A  -  0 ) )
323, 28, 3, 29, 30, 31syl221anc 1195 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <_  ( A  -  0 ) )
33 nnrp 10577 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
34333ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  e.  RR+ )
3521, 34ltaddrpd 10633 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  <  ( A  +  A )
)
3621recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  e.  CC )
3736subid1d 9356 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  - 
0 )  =  A )
38362timesd 10166 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( 2  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
3935, 37, 383brtr4d 4202 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  - 
0 )  <  (
2  x.  A ) )
4019, 24, 27, 32, 39lelttrd 9184 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( 2  x.  A ) )
4140adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  (
2  x.  A ) )
42 2nn 10089 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
43 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  A  e.  NN )
44 nnmulcl 9979 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
4542, 43, 44sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  NN )
46 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  B  e.  ( 0 ... A
) )
4746, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  B  e.  ZZ )
48 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  C  e.  ( 0 ... A
) )
4948, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  C  e.  ZZ )
50 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C
) )
51 congabseq 26929 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  e.  NN  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( B  -  C ) )  -> 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( 2  x.  A )  <->  B  =  C ) )
5245, 47, 49, 50, 51syl31anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  < 
( 2  x.  A
)  <->  B  =  C
) )
5341, 52mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  B  =  C )
54 simpll2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  B  e.  ( 0 ... A ) )
55 elfzle1 11016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( 0 ... A )  ->  0  <_  B )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  B
)
577zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  B  e.  RR )
5816zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  C  e.  RR )
5958renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  -u C  e.  RR )
6057, 59resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  -  -u C )  e.  RR )
6160recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  -  -u C )  e.  CC )
6261abscld 12193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( abs `  ( B  -  -u C ) )  e.  RR )
6362ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( B  -  -u C ) )  e.  RR )
64 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
65 resubcl 9321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
6621, 64, 65sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  - 
1 )  e.  RR )
6766renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  -u ( A  - 
1 )  e.  RR )
6821, 67resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  -  -u ( A  -  1 ) )  e.  RR )
6968ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( A  -  -u ( A  -  1 ) )  e.  RR )
7027ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
717ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
7271zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
7316znegcld 10333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  -u C  e.  ZZ )
7473ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  -u C  e.  ZZ )
7574zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  -u C  e.  CC )
7672, 75abssubd 12210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( B  -  -u C ) )  =  ( abs `  ( -u C  -  B ) ) )
77 elfzel1 11014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  0  e.  ZZ )
7877adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
79 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) )
80 0z 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  ZZ
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  0  e.  ZZ )
82 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  ZZ
83 zsubcl 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
843, 82, 83sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  - 
1 )  e.  ZZ )
85 fzneg 26937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  ( A  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <->  -u C  e.  ( -u ( A  -  1 ) ... -u 0
) ) )
8616, 81, 84, 85syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <->  -u C  e.  (
-u ( A  - 
1 ) ... -u 0
) ) )
8786ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <->  -u C  e.  (
-u ( A  - 
1 ) ... -u 0
) ) )
8879, 87mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  -u C  e.  (
-u ( A  - 
1 ) ... -u 0
) )
89 neg0 9303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u 0  =  0
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  -u 0  =  0 )
9190oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( -u ( A  -  1 ) ... -u 0 )  =  ( -u ( A  -  1 ) ... 0 ) )
9288, 91eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  -u C  e.  (
-u ( A  - 
1 ) ... 0
) )
933ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
94 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  e.  NN )
9542, 94, 44sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  NN )
96 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  A )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  NN0 )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  A )  - 
1 )  e.  NN0 )
9897nn0ge0d 10233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  0  <_  (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )
99 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  CC
10099subid1i 9328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  -  0 )  =  0
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( 0  -  0 )  =  0 )
102 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  1  e.  CC )
10436, 36, 103addsubassd 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( ( A  +  A )  - 
1 )  =  ( A  +  ( A  -  1 ) ) )
10538oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  A )  - 
1 )  =  ( ( A  +  A
)  -  1 ) )
106 subcl 9261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
10736, 102, 106sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  - 
1 )  e.  CC )
10836, 107subnegd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  -  -u ( A  -  1 ) )  =  ( A  +  ( A  -  1 ) ) )
109104, 105, 1083eqtr4rd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  -  -u ( A  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  A
)  -  1 ) )
11098, 101, 1093brtr4d 4202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( 0  -  0 )  <_  ( A  -  -u ( A  -  1 ) ) )
111110ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( 0  -  0 )  <_  ( A  -  -u ( A  -  1 ) ) )
112 fzmaxdif 26936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u C  e.  ( -u ( A  -  1 ) ... 0 ) )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
0  -  0 )  <_  ( A  -  -u ( A  -  1 ) ) )  -> 
( abs `  ( -u C  -  B ) )  <_  ( A  -  -u ( A  - 
1 ) ) )
11378, 92, 93, 54, 111, 112syl221anc 1195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( -u C  -  B ) )  <_  ( A  -  -u ( A  - 
1 ) ) )
11476, 113eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( B  -  -u C ) )  <_  ( A  -  -u ( A  - 
1 ) ) )
11527ltm1d 9899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  A )  - 
1 )  <  (
2  x.  A ) )
116109, 115eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  -  -u ( A  -  1 ) )  <  (
2  x.  A ) )
117116ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( A  -  -u ( A  -  1 ) )  <  (
2  x.  A ) )
11863, 69, 70, 114, 117lelttrd 9184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( B  -  -u C ) )  <  ( 2  x.  A ) )
11995ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  NN )
120 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  -u C ) )
121 congabseq 26929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  e.  NN  /\  B  e.  ZZ  /\  -u C  e.  ZZ )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  -u C ) )  ->  ( ( abs `  ( B  -  -u C ) )  < 
( 2  x.  A
)  <->  B  =  -u C
) )
122119, 71, 74, 120, 121syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( B  -  -u C
) )  <  (
2  x.  A )  <-> 
B  =  -u C
) )
123118, 122mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  B  =  -u C )
12456, 123breqtrd 4196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  -u C
)
125 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  C  e.  ZZ )
126125zred 10331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  C  e.  RR )
127126adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  C  e.  RR )
128127le0neg1d 9554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( C  <_ 
0  <->  0  <_  -u C
) )
129124, 128mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  C  <_  0
)
130 elfzle1 11016 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  0  <_  C )
131130adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  C
)
132 letri3 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( C  =  0  <-> 
( C  <_  0  /\  0  <_  C ) ) )
133127, 22, 132sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( C  =  0  <->  ( C  <_ 
0  /\  0  <_  C ) ) )
134129, 131, 133mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  C  =  0 )
135134negeqd 9256 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  -u C  =  -u
0 )
136135, 90eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  -u C  =  0 )
137136, 123, 1343eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  B  =  C )
138 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  A  ->  ( B  -  C )  =  ( B  -  A ) )
139138adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( B  -  C
)  =  ( B  -  A ) )
140139fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
14140ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( 2  x.  A ) )
142140, 141eqbrtrrd 4194 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( abs `  ( B  -  A )
)  <  ( 2  x.  A ) )
14395ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
1447ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  B  e.  ZZ )
1453ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  A  e.  ZZ )
146 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( 2  x.  A
)  ||  ( B  -  -u C ) )
1477zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  B  e.  CC )
14836, 36, 147ppncand 9407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( ( A  +  A )  +  ( B  -  A
) )  =  ( A  +  B ) )
14936, 147addcomd 9224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  +  B )  =  ( B  +  A ) )
150148, 149eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( ( A  +  A )  +  ( B  -  A
) )  =  ( B  +  A ) )
151150ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( ( A  +  A )  +  ( B  -  A ) )  =  ( B  +  A ) )
152 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  =  A  ->  ( B  +  C )  =  ( B  +  A ) )
153152adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( B  +  C
)  =  ( B  +  A ) )
154151, 153eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( ( A  +  A )  +  ( B  -  A ) )  =  ( B  +  C ) )
15538oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  A )  +  ( B  -  A
) )  =  ( ( A  +  A
)  +  ( B  -  A ) ) )
156155ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( ( 2  x.  A )  +  ( B  -  A ) )  =  ( ( A  +  A )  +  ( B  -  A ) ) )
15716zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  C  e.  CC )
158147, 157subnegd 9374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  -  -u C )  =  ( B  +  C ) )
159158ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( B  -  -u C
)  =  ( B  +  C ) )
160154, 156, 1593eqtr4d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( ( 2  x.  A )  +  ( B  -  A ) )  =  ( B  -  -u C ) )
161146, 160breqtrrd 4198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( 2  x.  A
)  ||  ( (
2  x.  A )  +  ( B  -  A ) ) )
1625ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  ZZ )
1637, 3zsubcld 10336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  -  A )  e.  ZZ )
164163ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( B  -  A
)  e.  ZZ )
165 dvdsadd 12843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  ZZ  /\  ( B  -  A
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  A
)  <->  ( 2  x.  A )  ||  (
( 2  x.  A
)  +  ( B  -  A ) ) ) )
166162, 164, 165syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  A )  <->  ( 2  x.  A ) 
||  ( ( 2  x.  A )  +  ( B  -  A
) ) ) )
167161, 166mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( 2  x.  A
)  ||  ( B  -  A ) )
168 congabseq 26929 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  e.  NN  /\  B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( B  -  A ) )  -> 
( ( abs `  ( B  -  A )
)  <  ( 2  x.  A )  <->  B  =  A ) )
169143, 144, 145, 167, 168syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( ( abs `  ( B  -  A )
)  <  ( 2  x.  A )  <->  B  =  A ) )
170142, 169mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  B  =  A )
171 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  C  =  A )
172170, 171eqtr4d 2439 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  B  =  C )
173 nnnn0 10184 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
1741733ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  e.  NN0 )
175 nn0uz 10476 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
176174, 175syl6eleq 2494 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
177 fzm1 11082 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( C  e.  ( 0 ... A
)  <->  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  \/  C  =  A ) ) )
178177biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  ->  ( C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) )  \/  C  =  A ) )
179176, 29, 178syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  \/  C  =  A ) )
180179adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  -u C ) )  ->  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  \/  C  =  A ) )
181137, 172, 180mpjaodan 762 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  -u C ) )  ->  B  =  C )
18253, 181jaodan 761 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C
)  \/  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  -u C
) ) )  ->  B  =  C )
18314, 182impbida 806 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  =  C  <->  ( ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C
)  \/  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  -u C
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999   abscabs 11994    || cdivides 12807
This theorem is referenced by:  jm2.27a  26966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808
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