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Theorem acnrcl 8414
Description: Reverse closure for the choice set predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnrcl  |-  ( X  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )

Proof of Theorem acnrcl
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3789 . . 3  |-  ( X  e.  { x  |  ( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) }  ->  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) }  =/=  (/) )
2 abn0 3803 . . . 4  |-  ( { x  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) }  =/=  (/)  <->  E. x
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) )
3 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) )  ->  A  e.  _V )
43exlimiv 1727 . . . 4  |-  ( E. x ( A  e. 
_V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )  ->  A  e.  _V )
52, 4sylbi 195 . . 3  |-  ( { x  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) }  =/=  (/)  ->  A  e.  _V )
61, 5syl 16 . 2  |-  ( X  e.  { x  |  ( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) }  ->  A  e.  _V )
7 df-acn 8314 . 2  |- AC  A  =  { x  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) }
86, 7eleq2s 2562 1  |-  ( X  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367   E.wex 1617    e. wcel 1823   {cab 2439    =/= wne 2649   A.wral 2804   _Vcvv 3106    \ cdif 3458   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412  AC wacn 8310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-v 3108  df-dif 3464  df-nul 3784  df-acn 8314
This theorem is referenced by:  acni  8417  acni2  8418  acndom2  8426  fodomacn  8428  iundom2g  8906
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