MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnlem Structured version   Unicode version

Theorem acnlem 8210
Description: Construct a mapping satisfying the consequent of isacn 8206. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnlem  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, A    B, g
Allowed substitution hints:    B( x, f)    V( x, f, g)

Proof of Theorem acnlem
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 5708 . . . . . 6  |-  ( f `
 x )  C_  U.
ran  f
2 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  ->  B  e.  ( f `  x ) )
31, 2sseldi 3349 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  ->  B  e.  U. ran  f
)
43ralimiaa 2785 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  A. x  e.  A  B  e.  U.
ran  f )
5 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
65fmpt 5859 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  U. ran  f  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f )
74, 6sylib 196 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f )
8 id 22 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
9 vex 2970 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
109rnex 6507 . . . . 5  |-  ran  f  e.  _V
1110uniex 6371 . . . 4  |-  U. ran  f  e.  _V
12 fex2 6527 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f  /\  A  e.  V  /\  U. ran  f  e.  _V )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
1311, 12mp3an3 1303 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
147, 8, 13syl2anr 478 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
155fvmpt2 5776 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1615, 2eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
1716ralimiaa 2785 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  A. x  e.  A  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
1817adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  A. x  e.  A  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
19 nfmpt1 4376 . . . . 5  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
2019nfeq2 2585 . . . 4  |-  F/ x  g  =  ( x  e.  A  |->  B )
21 fveq1 5685 . . . . 5  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( g `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
2221eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( ( g `  x )  e.  ( f `  x )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2320, 22ralbid 2728 . . 3  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x )  <->  A. x  e.  A  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2423spcegv 3053 . 2  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  ( A. x  e.  A  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2514, 18, 24sylc 60 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967   U.cuni 4086    e. cmpt 4345   ran crn 4836   -->wf 5409   ` cfv 5413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421
This theorem is referenced by:  numacn  8211  acndom  8213  acndom2  8216
  Copyright terms: Public domain W3C validator