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Theorem acnlem 8481
Description: Construct a mapping satisfying the consequent of isacn 8477. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnlem  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, A    B, g
Allowed substitution hints:    B( x, f)    V( x, f, g)

Proof of Theorem acnlem
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 5902 . . . . . 6  |-  ( f `
 x )  C_  U.
ran  f
2 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  ->  B  e.  ( f `  x ) )
31, 2sseldi 3463 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  ->  B  e.  U. ran  f
)
43ralimiaa 2818 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  A. x  e.  A  B  e.  U.
ran  f )
5 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
65fmpt 6056 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  U. ran  f  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f )
74, 6sylib 200 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f )
8 id 23 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
9 vex 3085 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
109rnex 6739 . . . . 5  |-  ran  f  e.  _V
1110uniex 6599 . . . 4  |-  U. ran  f  e.  _V
12 fex2 6760 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f  /\  A  e.  V  /\  U. ran  f  e.  _V )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
1311, 12mp3an3 1350 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
147, 8, 13syl2anr 481 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
155fvmpt2 5971 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1615, 2eqeltrd 2511 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
1716ralimiaa 2818 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  A. x  e.  A  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
1817adantl 468 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  A. x  e.  A  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
19 nfmpt1 4511 . . . . 5  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
2019nfeq2 2602 . . . 4  |-  F/ x  g  =  ( x  e.  A  |->  B )
21 fveq1 5878 . . . . 5  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( g `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
2221eleq1d 2492 . . . 4  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( ( g `  x )  e.  ( f `  x )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2320, 22ralbid 2860 . . 3  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x )  <->  A. x  e.  A  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2423spcegv 3168 . 2  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  ( A. x  e.  A  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2514, 18, 24sylc 63 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869   A.wral 2776   _Vcvv 3082   U.cuni 4217    |-> cmpt 4480   ran crn 4852   -->wf 5595   ` cfv 5599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-fv 5607
This theorem is referenced by:  numacn  8482  acndom  8484  acndom2  8487
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