MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnlem Structured version   Unicode version

Theorem acnlem 8425
Description: Construct a mapping satisfying the consequent of isacn 8421. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnlem  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, A    B, g
Allowed substitution hints:    B( x, f)    V( x, f, g)

Proof of Theorem acnlem
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 5887 . . . . . 6  |-  ( f `
 x )  C_  U.
ran  f
2 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  ->  B  e.  ( f `  x ) )
31, 2sseldi 3502 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  ->  B  e.  U. ran  f
)
43ralimiaa 2856 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  A. x  e.  A  B  e.  U.
ran  f )
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
65fmpt 6040 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  U. ran  f  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f )
74, 6sylib 196 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f )
8 id 22 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
9 vex 3116 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
109rnex 6715 . . . . 5  |-  ran  f  e.  _V
1110uniex 6578 . . . 4  |-  U. ran  f  e.  _V
12 fex2 6736 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f  /\  A  e.  V  /\  U. ran  f  e.  _V )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
1311, 12mp3an3 1313 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
147, 8, 13syl2anr 478 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
155fvmpt2 5955 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1615, 2eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
1716ralimiaa 2856 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  A. x  e.  A  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
1817adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  A. x  e.  A  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
19 nfmpt1 4536 . . . . 5  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
2019nfeq2 2646 . . . 4  |-  F/ x  g  =  ( x  e.  A  |->  B )
21 fveq1 5863 . . . . 5  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( g `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
2221eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( ( g `  x )  e.  ( f `  x )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2320, 22ralbid 2898 . . 3  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x )  <->  A. x  e.  A  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2423spcegv 3199 . 2  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  ( A. x  e.  A  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2514, 18, 24sylc 60 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   -->wf 5582   ` cfv 5586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594
This theorem is referenced by:  numacn  8426  acndom  8428  acndom2  8431
  Copyright terms: Public domain W3C validator