MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni3 Structured version   Unicode version

Theorem acni3 8476
Description: The property of being a choice set of length  A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acni3.1  |-  ( y  =  ( g `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
acni3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, g,
y, A    ph, g    ps, y    g, X, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, g)

Proof of Theorem acni3
StepHypRef Expression
1 rabn0 3788 . . . . . 6  |-  ( { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  X  ph )
21biimpri 209 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  X  ph  ->  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) )
3 ssrab2 3552 . . . . 5  |-  { y  e.  X  |  ph }  C_  X
42, 3jctil 539 . . . 4  |-  ( E. y  e.  X  ph  ->  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )
54ralimi 2825 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph  ->  A. x  e.  A  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )
6 acni2 8475 . . 3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
) )
75, 6sylan2 476 . 2  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
) )
8 acni3.1 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( g `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
98elrab 3235 . . . . . 6  |-  ( ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  <->  ( ( g `  x
)  e.  X  /\  ps ) )
109simprbi 465 . . . . 5  |-  ( ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  ->  ps )
1110ralimi 2825 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  ->  A. x  e.  A  ps )
1211anim2i 571 . . 3  |-  ( ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
)  ->  ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
1312eximi 1703 . 2  |-  ( E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph } )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
147, 13syl 17 1  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786    C_ wss 3442   (/)c0 3767   -->wf 5597   ` cfv 5601  AC wacn 8371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7482  df-acn 8375
This theorem is referenced by:  fodomacn  8485  iundom2g  8963  ptclsg  20561
  Copyright terms: Public domain W3C validator