MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni3 Structured version   Unicode version

Theorem acni3 8429
Description: The property of being a choice set of length  A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acni3.1  |-  ( y  =  ( g `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
acni3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, g,
y, A    ph, g    ps, y    g, X, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, g)

Proof of Theorem acni3
StepHypRef Expression
1 rabn0 3805 . . . . . 6  |-  ( { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  X  ph )
21biimpri 206 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  X  ph  ->  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) )
3 ssrab2 3585 . . . . 5  |-  { y  e.  X  |  ph }  C_  X
42, 3jctil 537 . . . 4  |-  ( E. y  e.  X  ph  ->  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )
54ralimi 2857 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph  ->  A. x  e.  A  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )
6 acni2 8428 . . 3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
) )
75, 6sylan2 474 . 2  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
) )
8 acni3.1 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( g `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
98elrab 3261 . . . . . 6  |-  ( ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  <->  ( ( g `  x
)  e.  X  /\  ps ) )
109simprbi 464 . . . . 5  |-  ( ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  ->  ps )
1110ralimi 2857 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  ->  A. x  e.  A  ps )
1211anim2i 569 . . 3  |-  ( ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
)  ->  ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
1312eximi 1635 . 2  |-  ( E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph } )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
147, 13syl 16 1  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    C_ wss 3476   (/)c0 3785   -->wf 5584   ` cfv 5588  AC wacn 8320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-map 7423  df-acn 8324
This theorem is referenced by:  fodomacn  8438  iundom2g  8916  ptclsg  19943
  Copyright terms: Public domain W3C validator