MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni3 Structured version   Unicode version

Theorem acni3 8331
Description: The property of being a choice set of length  A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acni3.1  |-  ( y  =  ( g `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
acni3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, g,
y, A    ph, g    ps, y    g, X, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, g)

Proof of Theorem acni3
StepHypRef Expression
1 rabn0 3768 . . . . . 6  |-  ( { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  X  ph )
21biimpri 206 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  X  ph  ->  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) )
3 ssrab2 3548 . . . . 5  |-  { y  e.  X  |  ph }  C_  X
42, 3jctil 537 . . . 4  |-  ( E. y  e.  X  ph  ->  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )
54ralimi 2819 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph  ->  A. x  e.  A  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )
6 acni2 8330 . . 3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
) )
75, 6sylan2 474 . 2  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
) )
8 acni3.1 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( g `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
98elrab 3224 . . . . . 6  |-  ( ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  <->  ( ( g `  x
)  e.  X  /\  ps ) )
109simprbi 464 . . . . 5  |-  ( ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  ->  ps )
1110ralimi 2819 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  ->  A. x  e.  A  ps )
1211anim2i 569 . . 3  |-  ( ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
)  ->  ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
1312eximi 1626 . 2  |-  ( E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph } )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
147, 13syl 16 1  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803    C_ wss 3439   (/)c0 3748   -->wf 5525   ` cfv 5529  AC wacn 8222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-map 7329  df-acn 8226
This theorem is referenced by:  fodomacn  8340  iundom2g  8818  ptclsg  19323
  Copyright terms: Public domain W3C validator