MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnen2 Structured version   Unicode version

Theorem acnen2 8340
Description: The class of sets with choice sequences of length  A is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnen2  |-  ( X 
~~  Y  ->  ( X  e. AC  A  <->  Y  e. AC  A ) )

Proof of Theorem acnen2
StepHypRef Expression
1 ensym 7471 . . 3  |-  ( X 
~~  Y  ->  Y  ~~  X )
2 endom 7449 . . 3  |-  ( Y 
~~  X  ->  Y  ~<_  X )
3 acndom2 8339 . . 3  |-  ( Y  ~<_  X  ->  ( X  e. AC  A  ->  Y  e. AC  A ) )
41, 2, 33syl 20 . 2  |-  ( X 
~~  Y  ->  ( X  e. AC  A  ->  Y  e. AC  A ) )
5 endom 7449 . . 3  |-  ( X 
~~  Y  ->  X  ~<_  Y )
6 acndom2 8339 . . 3  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( X 
~~  Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
84, 7impbid 191 1  |-  ( X 
~~  Y  ->  ( X  e. AC  A  <->  Y  e. AC  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1758   class class class wbr 4403    ~~ cen 7420    ~<_ cdom 7421  AC wacn 8223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-acn 8227
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator