MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnen Structured version   Unicode version

Theorem acnen 8465
Description: The class of choice sets of length  A is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnen  |-  ( A 
~~  B  -> AC  A  = AC  B )

Proof of Theorem acnen
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7601 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
2 endom 7579 . . . 4  |-  ( B 
~~  A  ->  B  ~<_  A )
3 acndom 8463 . . . 4  |-  ( B  ~<_  A  ->  ( x  e. AC  A  ->  x  e. AC  B ) )
41, 2, 33syl 20 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  (
x  e. AC  A  ->  x  e. AC  B ) )
5 endom 7579 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
6 acndom 8463 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( x  e. AC  B  ->  x  e. AC  A ) )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  (
x  e. AC  B  ->  x  e. AC  A ) )
84, 7impbid 191 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  (
x  e. AC  A  <->  x  e. AC  B ) )
98eqrdv 2399 1  |-  ( A 
~~  B  -> AC  A  = AC  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394    ~~ cen 7550    ~<_ cdom 7551  AC wacn 8350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-1o 7166  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-fin 7557  df-acn 8354
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator