MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acndom2 Unicode version

Theorem acndom2 7891
Description: A set smaller than one with choice sequences of length  A also has choice sequences of length 
A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )

Proof of Theorem acndom2
Dummy variables  f 
g  h  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7078 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  E. f 
f : X -1-1-> Y
)
2 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  Y  e. AC  A )
3 imassrn 5175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f
" ( g `  x ) )  C_  ran  f
4 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  f : X -1-1-> Y
)
5 f1f 5598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : X -1-1-> Y  -> 
f : X --> Y )
6 frn 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : X --> Y  ->  ran  f  C_  Y )
74, 5, 63syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ran  f  C_  Y
)
83, 7syl5ss 3319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f " (
g `  x )
)  C_  Y )
9 elmapi 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A )  ->  g : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )
109adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
g : A --> ( ~P X  \  { (/) } ) )
1110ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  e.  ( ~P X  \  { (/) } ) )
1211eldifad 3292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  e.  ~P X
)
1312elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  C_  X )
14 f1dm 5602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : X -1-1-> Y  ->  dom  f  =  X
)
154, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  dom  f  =  X )
1613, 15sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  C_  dom  f )
17 dfss1 3505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  x ) 
C_  dom  f  <->  ( dom  f  i^i  ( g `  x ) )  =  ( g `  x
) )
1816, 17sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =  ( g `  x ) )
19 eldifsni 3888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  x )  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  -> 
( g `  x
)  =/=  (/) )
2011, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  =/=  (/) )
2118, 20eqnetrd 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =/=  (/) )
22 imadisj 5182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f " ( g `
 x ) )  =  (/)  <->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =  (/) )
2322necon3bii 2599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f " ( g `
 x ) )  =/=  (/)  <->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =/=  (/) )
2421, 23sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) )
258, 24jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( f "
( g `  x
) )  C_  Y  /\  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) ) )
2625ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  A. x  e.  A  ( ( f "
( g `  x
) )  C_  Y  /\  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) ) )
27 acni2 7883 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( ( f " (
g `  x )
)  C_  Y  /\  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) ) )  ->  E. k ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f "
( g `  x
) ) ) )
282, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. k ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  (
k `  x )  e.  ( f " (
g `  x )
) ) )
29 acnrcl 7879 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )
3029ad3antlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) ) )  ->  A  e.  _V )
31 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  f : X -1-1-> Y )
32 f1f1orn 5644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : X -1-1-> Y  -> 
f : X -1-1-onto-> ran  f
)
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  f : X
-1-1-onto-> ran  f )
34 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) )
353, 34sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ran  f )
36 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : X -1-1-onto-> ran  f  /\  ( k `  x
)  e.  ran  f
)  ->  ( f `  ( `' f `  ( k `  x
) ) )  =  ( k `  x
) )
3733, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( f `  ( `' f `  ( k `  x
) ) )  =  ( k `  x
) )
3837, 34eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( f `  ( `' f `  ( k `  x
) ) )  e.  ( f " (
g `  x )
) )
39 f1ocnv 5646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : X -1-1-onto-> ran  f  ->  `' f : ran  f -1-1-onto-> X )
40 f1of 5633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' f : ran  f -1-1-onto-> X  ->  `' f : ran  f
--> X )
4133, 39, 403syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  `' f : ran  f --> X )
4241, 35ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  X )
4313ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( g `  x )  C_  X
)
44 f1elima 5968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  ( `' f `  ( k `  x
) )  e.  X  /\  ( g `  x
)  C_  X )  ->  ( ( f `  ( `' f `  (
k `  x )
) )  e.  ( f " ( g `
 x ) )  <-> 
( `' f `  ( k `  x
) )  e.  ( g `  x ) ) )
4531, 42, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( (
f `  ( `' f `  ( k `  x ) ) )  e.  ( f "
( g `  x
) )  <->  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) ) )
4638, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) )
4746expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) )  ->  ( `' f `
 ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) ) )
4847ralimdva 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  ->  ( A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( `' f `  (
k `  x )
)  e.  ( g `
 x ) ) )
4948impr 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) )
50 acnlem 7885 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( `' f `  (
k `  x )
)  e.  ( g `
 x ) )  ->  E. h A. x  e.  A  ( h `  x )  e.  ( g `  x ) )
5130, 49, 50syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) ) )  ->  E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) )
5228, 51exlimddv 1645 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. h A. x  e.  A  ( h `  x )  e.  ( g `  x ) )
5352ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  ->  A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) )
54 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
5554dmex 5091 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
5614, 55syl6eqelr 2493 . . . . . 6  |-  ( f : X -1-1-> Y  ->  X  e.  _V )
57 isacn 7881 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) ) )
5856, 29, 57syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  ->  ( X  e. AC  A 
<-> 
A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) ) )
5953, 58mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  ->  X  e. AC  A )
6059ex 424 . . 3  |-  ( f : X -1-1-> Y  -> 
( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
6160exlimiv 1641 . 2  |-  ( E. f  f : X -1-1-> Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
621, 61syl 16 1  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977    ~<_ cdom 7066  AC wacn 7781
This theorem is referenced by:  acnen2  7892  dfac13  7978  iundomg  8372  iunctb  8405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979  df-dom 7070  df-acn 7785
  Copyright terms: Public domain W3C validator