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Theorem acndom2 8452
Description: A set smaller than one with choice sequences of length  A also has choice sequences of length 
A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )

Proof of Theorem acndom2
Dummy variables  f 
g  h  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7546 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  E. f 
f : X -1-1-> Y
)
2 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  Y  e. AC  A )
3 imassrn 5358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f
" ( g `  x ) )  C_  ran  f
4 simplll 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  f : X -1-1-> Y
)
5 f1f 5787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : X -1-1-> Y  -> 
f : X --> Y )
6 frn 5743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : X --> Y  ->  ran  f  C_  Y )
74, 5, 63syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ran  f  C_  Y
)
83, 7syl5ss 3510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f " (
g `  x )
)  C_  Y )
9 elmapi 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A )  ->  g : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
g : A --> ( ~P X  \  { (/) } ) )
1110ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  e.  ( ~P X  \  { (/) } ) )
1211eldifad 3483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  e.  ~P X
)
1312elpwid 4025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  C_  X )
14 f1dm 5791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : X -1-1-> Y  ->  dom  f  =  X
)
154, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  dom  f  =  X )
1613, 15sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  C_  dom  f )
17 dfss1 3699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  x ) 
C_  dom  f  <->  ( dom  f  i^i  ( g `  x ) )  =  ( g `  x
) )
1816, 17sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =  ( g `  x ) )
19 eldifsni 4158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  x )  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  -> 
( g `  x
)  =/=  (/) )
2011, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  =/=  (/) )
2118, 20eqnetrd 2750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =/=  (/) )
22 imadisj 5366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f " ( g `
 x ) )  =  (/)  <->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =  (/) )
2322necon3bii 2725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f " ( g `
 x ) )  =/=  (/)  <->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =/=  (/) )
2421, 23sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) )
258, 24jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( f "
( g `  x
) )  C_  Y  /\  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) ) )
2625ralrimiva 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  A. x  e.  A  ( ( f "
( g `  x
) )  C_  Y  /\  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) ) )
27 acni2 8444 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( ( f " (
g `  x )
)  C_  Y  /\  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) ) )  ->  E. k ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f "
( g `  x
) ) ) )
282, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. k ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  (
k `  x )  e.  ( f " (
g `  x )
) ) )
29 acnrcl 8440 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )
3029ad3antlr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) ) )  ->  A  e.  _V )
31 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  f : X -1-1-> Y )
32 f1f1orn 5833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : X -1-1-> Y  -> 
f : X -1-1-onto-> ran  f
)
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  f : X
-1-1-onto-> ran  f )
34 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) )
353, 34sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ran  f )
36 f1ocnvfv2 6184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : X -1-1-onto-> ran  f  /\  ( k `  x
)  e.  ran  f
)  ->  ( f `  ( `' f `  ( k `  x
) ) )  =  ( k `  x
) )
3733, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( f `  ( `' f `  ( k `  x
) ) )  =  ( k `  x
) )
3837, 34eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( f `  ( `' f `  ( k `  x
) ) )  e.  ( f " (
g `  x )
) )
39 f1ocnv 5834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : X -1-1-onto-> ran  f  ->  `' f : ran  f -1-1-onto-> X )
40 f1of 5822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' f : ran  f -1-1-onto-> X  ->  `' f : ran  f
--> X )
4133, 39, 403syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  `' f : ran  f --> X )
4241, 35ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  X )
4313ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( g `  x )  C_  X
)
44 f1elima 6172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  ( `' f `  ( k `  x
) )  e.  X  /\  ( g `  x
)  C_  X )  ->  ( ( f `  ( `' f `  (
k `  x )
) )  e.  ( f " ( g `
 x ) )  <-> 
( `' f `  ( k `  x
) )  e.  ( g `  x ) ) )
4531, 42, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( (
f `  ( `' f `  ( k `  x ) ) )  e.  ( f "
( g `  x
) )  <->  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) ) )
4638, 45mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) )
4746expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) )  ->  ( `' f `
 ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) ) )
4847ralimdva 2865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  ->  ( A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( `' f `  (
k `  x )
)  e.  ( g `
 x ) ) )
4948impr 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) )
50 acnlem 8446 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( `' f `  (
k `  x )
)  e.  ( g `
 x ) )  ->  E. h A. x  e.  A  ( h `  x )  e.  ( g `  x ) )
5130, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) ) )  ->  E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) )
5228, 51exlimddv 1727 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. h A. x  e.  A  ( h `  x )  e.  ( g `  x ) )
5352ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  ->  A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) )
54 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
5554dmex 6732 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
5614, 55syl6eqelr 2554 . . . . . 6  |-  ( f : X -1-1-> Y  ->  X  e.  _V )
57 isacn 8442 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) ) )
5856, 29, 57syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  ->  ( X  e. AC  A 
<-> 
A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) ) )
5953, 58mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  ->  X  e. AC  A )
6059ex 434 . . 3  |-  ( f : X -1-1-> Y  -> 
( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
6160exlimiv 1723 . 2  |-  ( E. f  f : X -1-1-> Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
621, 61syl 16 1  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438    ~<_ cdom 7533  AC wacn 8336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-map 7440  df-dom 7537  df-acn 8340
This theorem is referenced by:  acnen2  8453  dfac13  8539  iundomg  8933  iunctb  8966
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