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Theorem acndom 8384
Description: A set with long choice sequences also has shorter choice sequences, where "shorter" here means the new index set is dominated by the old index set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )

Proof of Theorem acndom
Dummy variables  f 
g  h  k  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7485 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
2 neq0 3748 . . . . 5  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
3 simpl3 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  X  e. AC  B )
4 elmapi 7398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A )  ->  g : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )
54ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  g : A --> ( ~P X  \  { (/) } ) )
6 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  f : A -1-1-> B
)
7 f1f1orn 5766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A -1-1-onto-> ran  f
)
8 f1ocnv 5767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> ran  f  ->  `' f : ran  f -1-1-onto-> A )
9 f1of 5755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' f : ran  f -1-1-onto-> A  ->  `' f : ran  f
--> A )
106, 7, 8, 94syl 21 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  `' f : ran  f
--> A )
1110ffvelrnda 5965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  /\  y  e.  ran  f )  -> 
( `' f `  y )  e.  A
)
12 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  x  e.  A )
1312ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  /\  -.  y  e.  ran  f )  ->  x  e.  A
)
1411, 13ifclda 3916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e. 
ran  f ,  ( `' f `  y
) ,  x )  e.  A )
155, 14ffvelrnd 5966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  e.  ( ~P X  \  { (/) } ) )
16 eldifsn 4096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  ( (
g `  if (
y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  e. 
~P X  /\  (
g `  if (
y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
17 elpwi 3963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  e. 
~P X  ->  (
g `  if (
y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  C_  X )
1817anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  e. 
~P X  /\  (
g `  if (
y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  =/=  (/) )  ->  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
1916, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  -> 
( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
2120ralrimiva 2817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  A. y  e.  B  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
22 acni2 8379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. AC  B  /\  A. y  e.  B  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )  ->  E. k
( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )
233, 21, 22syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. k ( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  (
k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) ) ) )
24 f1dm 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  dom  f  =  A
)
25 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  f  e. 
_V
2625dmex 6671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  f  e.  _V
2724, 26syl6eqelr 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
28273ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  ->  A  e.  _V )
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )  ->  A  e.  _V )
30 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  f : A -1-1-> B )
31 f1f 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
32 frn 5676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
33 ssralv 3502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  f  C_  B  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y
)  e.  ( g `
 if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x
) )  ->  A. y  e.  ran  f ( k `
 y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) ) ) )
3430, 31, 32, 334syl 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  ->  A. y  e.  ran  f ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )
35 iftrue 3890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ran  f  ->  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x )  =  ( `' f `  y
) )
3635fveq2d 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ran  f  -> 
( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =  ( g `  ( `' f `  y
) ) )
3736eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ran  f  -> 
( ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  <->  ( k `  y )  e.  ( g `  ( `' f `  y ) ) ) )
3837ralbiia 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  ran  f ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  <->  A. y  e.  ran  f ( k `
 y )  e.  ( g `  ( `' f `  y
) ) )
3934, 38syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  ->  A. y  e.  ran  f ( k `  y )  e.  ( g `  ( `' f `  y ) ) ) )
40 f1fn 5721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f  Fn  A )
41 fveq2 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
k `  y )  =  ( k `  ( f `  z
) ) )
42 fveq2 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  ( `' f `  y
)  =  ( `' f `  ( f `
 z ) ) )
4342fveq2d 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
g `  ( `' f `  y )
)  =  ( g `
 ( `' f `
 ( f `  z ) ) ) )
4441, 43eleq12d 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
( k `  y
)  e.  ( g `
 ( `' f `
 y ) )  <-> 
( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 ( `' f `
 ( f `  z ) ) ) ) )
4544ralrn 5968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  A  ->  ( A. y  e.  ran  f ( k `  y )  e.  ( g `  ( `' f `  y ) )  <->  A. z  e.  A  ( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 ( `' f `
 ( f `  z ) ) ) ) )
4630, 40, 453syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  ran  f ( k `
 y )  e.  ( g `  ( `' f `  y
) )  <->  A. z  e.  A  ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  ( `' f `  ( f `
 z ) ) ) ) )
4739, 46sylibd 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  ->  A. z  e.  A  ( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 ( `' f `
 ( f `  z ) ) ) ) )
4830, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  f : A -1-1-onto-> ran  f )
49 f1ocnvfv1 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> ran  f  /\  z  e.  A
)  ->  ( `' f `  ( f `  z ) )  =  z )
5048, 49sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  /\  z  e.  A )  ->  ( `' f `  ( f `  z
) )  =  z )
5150fveq2d 5809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  /\  z  e.  A )  ->  ( g `  ( `' f `  (
f `  z )
) )  =  ( g `  z ) )
5251eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  /\  z  e.  A )  ->  ( ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  ( `' f `  ( f `
 z ) ) )  <->  ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  z ) ) )
5352ralbidva 2839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. z  e.  A  ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  ( `' f `  ( f `
 z ) ) )  <->  A. z  e.  A  ( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 z ) ) )
5447, 53sylibd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  ->  A. z  e.  A  ( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 z ) ) )
5554impr 617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  z ) )
56 acnlem 8381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. z  e.  A  ( k `  ( f `
 z ) )  e.  ( g `  z ) )  ->  E. h A. z  e.  A  ( h `  z )  e.  ( g `  z ) )
5729, 55, 56syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )  ->  E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) )
5823, 57exlimddv 1747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. h A. z  e.  A  ( h `  z )  e.  ( g `  z ) )
5958ralrimiva 2817 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  ->  A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) )
60 elex 3067 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e. AC  B  ->  X  e. 
_V )
61 isacn 8377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) ) )
6260, 27, 61syl2anr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  X  e. AC  B )  ->  ( X  e. AC  A 
<-> 
A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) ) )
63623adant2 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  ->  ( X  e. AC  A 
<-> 
A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) ) )
6459, 63mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  ->  X  e. AC  A )
65643exp 1196 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( x  e.  A  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) ) )
6665exlimdv 1745 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( E. x  x  e.  A  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) ) )
672, 66syl5bi 217 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( -.  A  =  (/)  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) ) )
68 acneq 8376 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  -> AC  A  = AC  (/) )
69 0fin 7702 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Fin
70 finacn 8383 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  Fin  -> AC  (/)  =  _V )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . 7  |- AC  (/)  =  _V
7268, 71syl6eq 2459 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  -> AC  A  =  _V )
7372eleq2d 2472 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( X  e. AC  A  <->  X  e.  _V ) )
7460, 73syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )
7567, 74pm2.61d2 160 . . 3  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )
7675exlimiv 1743 . 2  |-  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )
771, 76syl 17 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    C_ wss 3413   (/)c0 3737   ifcif 3884   ~Pcpw 3954   {csn 3971   class class class wbr 4394   `'ccnv 4941   dom cdm 4942   ran crn 4943    Fn wfn 5520   -->wf 5521   -1-1->wf1 5522   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525  (class class class)co 6234    ^m cmap 7377    ~<_ cdom 7472   Fincfn 7474  AC wacn 8271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-1o 7087  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-fin 7478  df-acn 8275
This theorem is referenced by:  acnnum  8385  acnen  8386  iunctb  8901
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