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Theorem acndom 8327
Description: A set with long choice sequences also has shorter choice sequences, where "shorter" here means the new index set is dominated by the old index set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )

Proof of Theorem acndom
Dummy variables  f 
g  h  k  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7426 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
2 neq0 3750 . . . . 5  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
3 simpl3 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  X  e. AC  B )
4 elmapi 7339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A )  ->  g : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )
54ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  g : A --> ( ~P X  \  { (/) } ) )
6 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  f : A -1-1-> B
)
7 f1f1orn 5755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A -1-1-onto-> ran  f
)
8 f1ocnv 5756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> ran  f  ->  `' f : ran  f -1-1-onto-> A )
9 f1of 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' f : ran  f -1-1-onto-> A  ->  `' f : ran  f
--> A )
106, 7, 8, 94syl 21 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  `' f : ran  f
--> A )
1110ffvelrnda 5947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  /\  y  e.  ran  f )  -> 
( `' f `  y )  e.  A
)
12 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  x  e.  A )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  /\  -.  y  e.  ran  f )  ->  x  e.  A
)
1411, 13ifclda 3924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e. 
ran  f ,  ( `' f `  y
) ,  x )  e.  A )
155, 14ffvelrnd 5948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  e.  ( ~P X  \  { (/) } ) )
16 eldifsn 4103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  ( (
g `  if (
y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  e. 
~P X  /\  (
g `  if (
y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
17 elpwi 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  e. 
~P X  ->  (
g `  if (
y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  C_  X )
1817anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  e. 
~P X  /\  (
g `  if (
y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  =/=  (/) )  ->  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
1916, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  -> 
( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
2120ralrimiva 2827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  A. y  e.  B  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
22 acni2 8322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. AC  B  /\  A. y  e.  B  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )  ->  E. k
( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )
233, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. k ( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  (
k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) ) ) )
24 f1dm 5713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  dom  f  =  A
)
25 vex 3075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  f  e. 
_V
2625dmex 6616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  f  e.  _V
2724, 26syl6eqelr 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
28273ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  ->  A  e.  _V )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )  ->  A  e.  _V )
30 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  f : A -1-1-> B )
31 f1f 5709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
32 frn 5668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
33 ssralv 3519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  f  C_  B  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y
)  e.  ( g `
 if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x
) )  ->  A. y  e.  ran  f ( k `
 y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) ) ) )
3430, 31, 32, 334syl 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  ->  A. y  e.  ran  f ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )
35 iftrue 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ran  f  ->  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x )  =  ( `' f `  y
) )
3635fveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ran  f  -> 
( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =  ( g `  ( `' f `  y
) ) )
3736eleq2d 2522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ran  f  -> 
( ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  <->  ( k `  y )  e.  ( g `  ( `' f `  y ) ) ) )
3837ralbiia 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  ran  f ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  <->  A. y  e.  ran  f ( k `
 y )  e.  ( g `  ( `' f `  y
) ) )
3934, 38syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  ->  A. y  e.  ran  f ( k `  y )  e.  ( g `  ( `' f `  y ) ) ) )
40 f1fn 5710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f  Fn  A )
41 fveq2 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
k `  y )  =  ( k `  ( f `  z
) ) )
42 fveq2 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  ( `' f `  y
)  =  ( `' f `  ( f `
 z ) ) )
4342fveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
g `  ( `' f `  y )
)  =  ( g `
 ( `' f `
 ( f `  z ) ) ) )
4441, 43eleq12d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
( k `  y
)  e.  ( g `
 ( `' f `
 y ) )  <-> 
( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 ( `' f `
 ( f `  z ) ) ) ) )
4544ralrn 5950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  A  ->  ( A. y  e.  ran  f ( k `  y )  e.  ( g `  ( `' f `  y ) )  <->  A. z  e.  A  ( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 ( `' f `
 ( f `  z ) ) ) ) )
4630, 40, 453syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  ran  f ( k `
 y )  e.  ( g `  ( `' f `  y
) )  <->  A. z  e.  A  ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  ( `' f `  ( f `
 z ) ) ) ) )
4739, 46sylibd 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  ->  A. z  e.  A  ( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 ( `' f `
 ( f `  z ) ) ) ) )
4830, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  f : A -1-1-onto-> ran  f )
49 f1ocnvfv1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> ran  f  /\  z  e.  A
)  ->  ( `' f `  ( f `  z ) )  =  z )
5048, 49sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  /\  z  e.  A )  ->  ( `' f `  ( f `  z
) )  =  z )
5150fveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  /\  z  e.  A )  ->  ( g `  ( `' f `  (
f `  z )
) )  =  ( g `  z ) )
5251eleq2d 2522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  /\  z  e.  A )  ->  ( ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  ( `' f `  ( f `
 z ) ) )  <->  ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  z ) ) )
5352ralbidva 2841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. z  e.  A  ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  ( `' f `  ( f `
 z ) ) )  <->  A. z  e.  A  ( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 z ) ) )
5447, 53sylibd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  ->  A. z  e.  A  ( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 z ) ) )
5554impr 619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  z ) )
56 acnlem 8324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. z  e.  A  ( k `  ( f `
 z ) )  e.  ( g `  z ) )  ->  E. h A. z  e.  A  ( h `  z )  e.  ( g `  z ) )
5729, 55, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )  ->  E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) )
5823, 57exlimddv 1693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. h A. z  e.  A  ( h `  z )  e.  ( g `  z ) )
5958ralrimiva 2827 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  ->  A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) )
60 elex 3081 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e. AC  B  ->  X  e. 
_V )
61 isacn 8320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) ) )
6260, 27, 61syl2anr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  X  e. AC  B )  ->  ( X  e. AC  A 
<-> 
A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) ) )
63623adant2 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  ->  ( X  e. AC  A 
<-> 
A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) ) )
6459, 63mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  ->  X  e. AC  A )
65643exp 1187 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( x  e.  A  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) ) )
6665exlimdv 1691 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( E. x  x  e.  A  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) ) )
672, 66syl5bi 217 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( -.  A  =  (/)  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) ) )
68 acneq 8319 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  -> AC  A  = AC  (/) )
69 0fin 7646 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Fin
70 finacn 8326 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  Fin  -> AC  (/)  =  _V )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . 7  |- AC  (/)  =  _V
7268, 71syl6eq 2509 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  -> AC  A  =  _V )
7372eleq2d 2522 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( X  e. AC  A  <->  X  e.  _V ) )
7460, 73syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )
7567, 74pm2.61d2 160 . . 3  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )
7675exlimiv 1689 . 2  |-  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )
771, 76syl 16 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   _Vcvv 3072    \ cdif 3428    C_ wss 3431   (/)c0 3740   ifcif 3894   ~Pcpw 3963   {csn 3980   class class class wbr 4395   `'ccnv 4942   dom cdm 4943   ran crn 4944    Fn wfn 5516   -->wf 5517   -1-1->wf1 5518   -1-1-onto->wf1o 5520   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    ^m cmap 7319    ~<_ cdom 7413   Fincfn 7415  AC wacn 8214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-1o 7025  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-fin 7419  df-acn 8218
This theorem is referenced by:  acnnum  8328  acnen  8329  iunctb  8844
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