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Theorem ackbijnn 12562
Description: Translate the Ackermann bijection ackbij1 8074 onto the natural numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbijnn.1  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
Assertion
Ref Expression
ackbijnn  |-  F :
( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem ackbijnn
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgval2 11607 . . . 4  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
21hashgf1o 11265 . . 3  |-  ( #  |` 
om ) : om -1-1-onto-> NN0
3 sneq 3785 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  { w }  =  { y } )
4 pweq 3762 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ~P w  =  ~P y
)
53, 4xpeq12d 4862 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( { w }  X.  ~P w )  =  ( { y }  X.  ~P y ) )
65cbviunv 4090 . . . . . . . 8  |-  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w )  =  U_ y  e.  z  ( { y }  X.  ~P y )
7 iuneq1 4066 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  U_ y  e.  z  ( {
y }  X.  ~P y )  =  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y ) )
86, 7syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w )  =  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y ) )
98fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( card `  U_ w  e.  z  ( { w }  X.  ~P w ) )  =  ( card `  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
109cbvmptv 4260 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
1110ackbij1 8074 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( { w }  X.  ~P w ) ) ) : ( ~P
om  i^i  Fin ) -1-1-onto-> om
12 f1ocnv 5646 . . . . . 6  |-  ( (
#  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  `' ( #  |`  om ) : NN0 -1-1-onto-> om )
132, 12ax-mp 8 . . . . 5  |-  `' (
#  |`  om ) : NN0
-1-1-onto-> om
14 f1opwfi 7368 . . . . 5  |-  ( `' ( #  |`  om ) : NN0
-1-1-onto-> om  ->  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ~P om  i^i  Fin ) )
1513, 14ax-mp 8 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> ( ~P om  i^i  Fin )
16 f1oco 5657 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) ) : ( ~P om  i^i  Fin ) -1-1-onto-> om  /\  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> om )
1711, 15, 16mp2an 654 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> om
18 f1oco 5657 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( z  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> om )  ->  (
( #  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) ) : ( ~P
NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
192, 17, 18mp2an 654 . 2  |-  ( (
#  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) ) : ( ~P
NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0
20 inss2 3522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
21 f1of 5633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) --> ( ~P om  i^i  Fin ) )
2215, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) --> ( ~P
om  i^i  Fin )
23 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) )
2423fmpt 5849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) ( `' ( #  |`  om ) " x )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) --> ( ~P om  i^i  Fin ) )
2522, 24mpbir 201 . . . . . . . . . . 11  |-  A. x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) ( `' (
#  |`  om ) "
x )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
2625rspec 2730 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( `' ( #  |`  om ) " x )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
2720, 26sseldi 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( `' ( #  |`  om ) " x )  e. 
Fin )
28 snfi 7146 . . . . . . . . . . 11  |-  { w }  e.  Fin
29 cnvimass 5183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( #  |`  om ) " x )  C_  dom  ( #  |`  om )
30 f1odm 5637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
#  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  dom  ( #  |` 
om )  =  om )
312, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( #  |`  om )  =  om
3229, 31sseqtri 3340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( #  |`  om ) " x )  C_  om
33 onfin2 7257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
34 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
3533, 34eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  C_  Fin
3632, 35sstri 3317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( #  |`  om ) " x )  C_  Fin
37 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )
3836, 37sseldi 3306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  w  e.  Fin )
39 pwfi 7360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  Fin  <->  ~P w  e.  Fin )
4038, 39sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  ~P w  e. 
Fin )
41 xpfi 7337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { w }  e.  Fin  /\  ~P w  e. 
Fin )  ->  ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
4228, 40, 41sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
4342ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  A. w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
44 iunfi 7353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( #  |` 
om ) " x
)  e.  Fin  /\  A. w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )  ->  U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
4527, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
46 ficardom 7804 . . . . . . . 8  |-  ( U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  om )
4745, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  om )
48 fvres 5704 . . . . . . 7  |-  ( (
card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  om  ->  ( ( #  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  (
# `  ( card ` 
U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  (
( #  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  (
# `  ( card ` 
U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
50 hashcard 11593 . . . . . . 7  |-  ( U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin  ->  ( # `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  (
# `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )
5145, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( # `
 ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  (
# `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )
52 xp1st 6335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { w }  X.  ~P w )  ->  ( 1st `  z
)  e.  { w } )
53 elsni 3798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1st `  z )  e.  { w }  ->  ( 1st `  z
)  =  w )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( { w }  X.  ~P w )  ->  ( 1st `  z
)  =  w )
5554rgen 2731 . . . . . . . . . 10  |-  A. z  e.  ( { w }  X.  ~P w ) ( 1st `  z )  =  w
5655rgenw 2733 . . . . . . . . 9  |-  A. w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) A. z  e.  ( { w }  X.  ~P w ) ( 1st `  z )  =  w
57 invdisj 4161 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) A. z  e.  ( {
w }  X.  ~P w ) ( 1st `  z )  =  w  -> Disj  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) )
5856, 57mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  -> Disj  w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )
5927, 42, 58hashiun 12556 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( # `
 U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) )  = 
sum_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) (
# `  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )
60 sneq 3785 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y )  ->  { w }  =  { ( `' ( #  |`  om ) `  y ) } )
61 pweq 3762 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y )  ->  ~P w  =  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )
6260, 61xpeq12d 4862 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y )  ->  ( { w }  X.  ~P w )  =  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )
6362fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y )  ->  ( # `
 ( { w }  X.  ~P w ) )  =  ( # `  ( { ( `' ( #  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) ) )
64 inss2 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  C_ 
Fin
6564sseli 3304 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  x  e.  Fin )
66 f1of1 5632 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( #  |`  om ) : NN0
-1-1-onto-> om  ->  `' ( #  |` 
om ) : NN0 -1-1-> om )
6713, 66ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  `' (
#  |`  om ) : NN0 -1-1-> om
68 inss1 3521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  C_ 
~P NN0
6968sseli 3304 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  x  e.  ~P NN0 )
7069elpwid 3768 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  x  C_ 
NN0 )
71 f1ores 5648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) : NN0 -1-1-> om  /\  x  C_ 
NN0 )  ->  ( `' ( #  |`  om )  |`  x ) : x -1-1-onto-> ( `' ( #  |`  om ) " x ) )
7267, 70, 71sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( `' ( #  |`  om )  |`  x ) : x -1-1-onto-> ( `' ( #  |`  om ) " x ) )
73 fvres 5704 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  x  ->  (
( `' ( #  |` 
om )  |`  x
) `  y )  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y ) )
7473adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( `' ( #  |`  om )  |`  x ) `  y
)  =  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )
75 hashcl 11594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin  ->  ( # `  ( { w }  X.  ~P w ) )  e. 
NN0 )
76 nn0cn 10187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( {
w }  X.  ~P w ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  CC )
7742, 75, 763syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  ( # `  ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  CC )
7863, 65, 72, 74, 77fsumf1o 12472 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  sum_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( # `  ( { w }  X.  ~P w ) )  = 
sum_ y  e.  x  ( # `  ( { ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) }  X.  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) ) )
79 snfi 7146 . . . . . . . . . 10  |-  { ( `' ( #  |`  om ) `  y ) }  e.  Fin
8070sselda 3308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  NN0 )
81 f1of 5633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( #  |`  om ) : NN0
-1-1-onto-> om  ->  `' ( #  |` 
om ) : NN0 --> om )
8213, 81ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' (
#  |`  om ) : NN0 --> om
8382ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  om )
8480, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  om )
8535, 84sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin )
86 pwfi 7360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin  <->  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin )
8785, 86sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin )
88 hashxp 11652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  e.  Fin  /\  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin )  ->  ( # `  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )  =  ( ( # `  {
( `' ( #  |` 
om ) `  y
) } )  x.  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) ) )
8979, 87, 88sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )  =  ( ( # `  {
( `' ( #  |` 
om ) `  y
) } )  x.  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) ) )
90 hashsng 11602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  om  ->  ( # `  {
( `' ( #  |` 
om ) `  y
) } )  =  1 )
9184, 90syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  {
( `' ( #  |` 
om ) `  y
) } )  =  1 )
92 hashpw 11654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin  ->  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 ( `' (
#  |`  om ) `  y ) ) ) )
9385, 92syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 ( `' (
#  |`  om ) `  y ) ) ) )
94 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  om  ->  ( ( #  |`  om ) `  ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) )  =  (
# `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) )
9584, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( #  |`  om ) `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  ( # `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) )
96 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( #  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  y  e. 
NN0 )  ->  (
( #  |`  om ) `  ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) )  =  y )
972, 80, 96sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( #  |`  om ) `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  y )
9895, 97eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  y )
9998oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( 2 ^ ( # `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) )  =  ( 2 ^ y ) )
10093, 99eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  ( 2 ^ y
) )
10191, 100oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( # `
 { ( `' ( #  |`  om ) `  y ) } )  x.  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) )  =  ( 1  x.  ( 2 ^ y
) ) )
102 2cn 10026 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
103 expcl 11354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  CC )
104102, 80, 103sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( 2 ^ y )  e.  CC )
105104mulid2d 9062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( 1  x.  ( 2 ^ y ) )  =  ( 2 ^ y
) )
10689, 101, 1053eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )  =  ( 2 ^ y
) )
107106sumeq2dv 12452 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  sum_ y  e.  x  ( # `  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )  = 
sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
10859, 78, 1073eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( # `
 U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) )  = 
sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
10949, 51, 1083eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  (
( #  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  sum_ y  e.  x  (
2 ^ y ) )
110109mpteq2ia 4251 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( (
#  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
11147adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )  ->  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  om )
11226adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )  ->  ( `' ( #  |`  om ) " x )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
113 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) )
114 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  =  ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) ) )
115 iuneq1 4066 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( `' (
#  |`  om ) "
x )  ->  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w )  =  U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) )
116115fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( `' (
#  |`  om ) "
x )  ->  ( card `  U_ w  e.  z  ( { w }  X.  ~P w ) )  =  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) ) )
117112, 113, 114, 116fmptco 5860 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
118 f1of 5633 . . . . . . . 8  |-  ( (
#  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  ( #  |`  om ) : om --> NN0 )
1192, 118mp1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( #  |`  om ) : om --> NN0 )
120119feqmptd 5738 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( #  |`  om )  =  ( y  e. 
om  |->  ( ( #  |` 
om ) `  y
) ) )
121 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  ->  ( ( #  |`  om ) `  y
)  =  ( (
#  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
122111, 117, 120, 121fmptco 5860 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( #  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( (
#  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) ) )
123122trud 1329 . . . 4  |-  ( (
#  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( (
#  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
124 ackbijnn.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
125110, 123, 1243eqtr4i 2434 . . 3  |-  ( (
#  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) )  =  F
126 f1oeq1 5624 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) )  =  F  -> 
( ( ( #  |` 
om )  o.  (
( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) ) : ( ~P
NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  <->  F : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 ) )
127125, 126ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ( #  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) ) : ( ~P
NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  <->  F : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
12819, 127mpbi 200 1  |-  F :
( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U_ciun 4053  Disj wdisj 4142    e. cmpt 4226   Oncon0 4541   omcom 4804    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837    |` cres 4839   "cima 4840    o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   Fincfn 7068   cardccrd 7778   CCcc 8944   1c1 8947    x. cmul 8951   2c2 10005   NN0cn0 10177   ^cexp 11337   #chash 11573   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  bitsinv2  12910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435
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