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Theorem ackbij2lem3 8077
Description: Lemma for ackbij2 8079. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
ackbij.g  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij2lem3  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, G, y    x, A, y

Proof of Theorem ackbij2lem3
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) )
2 suceq 4606 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  suc  a  =  suc  (/) )
32fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) ) )
4 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( R1
`  a )  =  ( R1 `  (/) ) )
53, 4reseq12d 5106 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a
)  |`  ( R1 `  a ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  ( R1 `  (/) ) ) )
61, 5eqeq12d 2418 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  ( R1 `  (/) ) ) ) )
7 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
8 suceq 4606 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  suc  a  =  suc  b )
98fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
10 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( R1 `  a )  =  ( R1 `  b
) )
119, 10reseq12d 5106 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )
127, 11eqeq12d 2418 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a
)  |`  ( R1 `  a ) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) ) )
13 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
14 suceq 4606 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  ->  suc  a  =  suc  suc  b )
1514fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) )
16 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( R1 `  a
)  =  ( R1
`  suc  b )
)
1715, 16reseq12d 5106 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
)  |`  ( R1 `  suc  b ) ) )
1813, 17eqeq12d 2418 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a ) )  <-> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) ) ) )
19 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) )
20 suceq 4606 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  suc  a  =  suc  A )
2120fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A ) )
22 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( R1 `  a )  =  ( R1 `  A
) )
2321, 22reseq12d 5106 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A )  |`  ( R1 `  A
) ) )
2419, 23eqeq12d 2418 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a
)  |`  ( R1 `  a ) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A )  |`  ( R1 `  A ) ) ) )
25 res0 5109 . . . 4  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  (/) )  =  (/)
26 r10 7650 . . . . 5  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
2726reseq2i 5102 . . . 4  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  ( R1 `  (/) ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  (/) )
28 0ex 4299 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
2928rdg0 6638 . . . 4  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
3025, 27, 293eqtr4ri 2435 . . 3  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  ( R1 `  (/) ) )
31 peano2 4824 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  e.  om )
32 ackbij.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
33 ackbij.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
3432, 33ackbij2lem2 8076 . . . . . . . 8  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
3531, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
36 f1ofn 5634 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
3735, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
3837adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
39 peano2 4824 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc 
suc  b  e.  om )
4031, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  suc  suc  b  e.  om )
4132, 33ackbij2lem2 8076 . . . . . . . . 9  |-  ( suc 
suc  b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) : ( R1 `  suc  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  suc  b
) ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
) : ( R1
`  suc  suc  b ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 ` 
suc  suc  b ) ) )
43 f1ofn 5634 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) : ( R1 `  suc  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  suc  b
) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
)  Fn  ( R1
`  suc  suc  b ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
)  Fn  ( R1
`  suc  suc  b ) )
45 nnon 4810 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  On )
4631, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  e.  On )
47 r1sssuc 7665 . . . . . . . 8  |-  ( suc  b  e.  On  ->  ( R1 `  suc  b
)  C_  ( R1 ` 
suc  suc  b ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b ) 
C_  ( R1 `  suc  suc  b ) )
49 fnssres 5517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  suc  b
)  /\  ( R1 ` 
suc  b )  C_  ( R1 `  suc  suc  b ) )  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b
) )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
5044, 48, 49syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) )  Fn  ( R1
`  suc  b )
)
5150adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b
) )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
52 nnon 4810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  On )
53 r1suc 7652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  On  ->  ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
5554eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  om  ->  (
c  e.  ( R1
`  suc  b )  <->  c  e.  ~P ( R1
`  b ) ) )
5655biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )
5756elpwid 3768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  C_  ( R1 `  b ) )
58 resima2 5138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c 
C_  ( R1 `  b )  ->  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" c )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " c
) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) "
c )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " c
) )
6059fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) ) )
61 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  _V
6261resex 5145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) )  e. 
_V
63 dmeq 5029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  dom  x  =  dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )
6463pweqd 3764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  ~P dom  x  =  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) )
65 imaeq1 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  (
x " y )  =  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) "
y ) )
6665fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  ( F `  ( x " y ) )  =  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )
6764, 66mpteq12dv 4247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  (
y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) ) )
6862dmex 5091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  e.  _V
6968pwex 4342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  e.  _V
7069mptex 5925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )  e.  _V
7167, 33, 70fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  e.  _V  ->  ( G `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) ) )
7262, 71ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )
7372fveq1i 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) ) `
 c )  =  ( ( y  e. 
~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  |->  ( F `
 ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) "
y ) ) ) `
 c )
74 r1sssuc 7665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  On  ->  ( R1 `  b )  C_  ( R1 `  suc  b
) )
7552, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  b )  C_  ( R1 `  suc  b
) )
76 fnssres 5517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  b )  /\  ( R1 `  b )  C_  ( R1 `  suc  b ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  Fn  ( R1 `  b ) )
7737, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  Fn  ( R1 `  b ) )
78 fndm 5503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  Fn  ( R1 `  b )  ->  dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  =  ( R1 `  b ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  =  ( R1 `  b ) )
8079pweqd 3764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  om  ->  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  =  ~P ( R1
`  b ) )
8180adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  =  ~P ( R1
`  b ) )
8256, 81eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  e.  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) )
83 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y )  =  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) )
8483fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  ( (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) )  =  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) ) )
85 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )
86 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) "
c ) )  e. 
_V
8784, 85, 86fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) ) )
8882, 87syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) ) )
8973, 88syl5eq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" c ) ) )
90 dmeq 5029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  dom  x  =  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
9190pweqd 3764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  ~P dom  x  =  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) )
92 imaeq1 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
x " y )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) )
9392fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  ( F `  ( x " y ) )  =  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) )
9491, 93mpteq12dv 4247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) ) ) )
9561dmex 5091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  _V
9695pwex 4342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  e.  _V
9796mptex 5925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) )  e. 
_V
9894, 33, 97fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  e.  _V  ->  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) ) )
9961, 98ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) ) )
10099fveq1i 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c )  =  ( ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) ) `  c )
101 r1tr 7658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Tr  ( R1 `  suc  b )
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  Tr  ( R1 `  suc  b
) )
103 dftr4 4267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  ( R1 `  suc  b )  <->  ( R1 ` 
suc  b )  C_  ~P ( R1 `  suc  b ) )
104102, 103sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b ) 
C_  ~P ( R1 `  suc  b ) )
105104sselda 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  e.  ~P ( R1 `  suc  b
) )
106 f1odm 5637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  ->  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( R1 `  suc  b
) )
10735, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  =  ( R1
`  suc  b )
)
108107pweqd 3764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  om  ->  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ~P ( R1 `  suc  b
) )
109108adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  suc  b )
)
110105, 109eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
111 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) )
112111fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " c
) ) )
113 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) ) )
114 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" c ) )  e.  _V
115112, 113, 114fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  ( ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) ) )
116110, 115syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) ) )
117100, 116syl5eq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) ) )
11860, 89, 1173eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) ) `  c )  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c ) )
119118adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( G `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) ) `  c )  =  ( ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c ) )
120 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )  =  ( G `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) ) )
121120fveq1d 5689 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  (
( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )  =  ( ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) ) `  c ) )
122121ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )  =  ( ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) ) `  c ) )
123 rdgsuc 6641 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  b  e.  On  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  =  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) )
12446, 123syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
)  =  ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) )
125124fveq1d 5689 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c ) )
126125ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c ) )
127119, 122, 1263eqtr4rd 2447 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )
)
128 fvres 5704 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( R1 `  suc  b )  ->  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b
) ) `  c
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
) )
129128adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b
) ) `  c
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
) )
130 rdgsuc 6641 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  On  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) ) )
13152, 130syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) ) )
132131fveq1d 5689 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )
)
133132ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )
)
134127, 129, 1333eqtr4rd 2447 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) `  c
)  =  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) ) `  c ) )
13538, 51, 134eqfnfvd 5789 . . . 4  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) ) )
136135ex 424 . . 3  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) ) ) )
1376, 12, 18, 24, 30, 136finds 4830 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A )  |`  ( R1 `  A
) ) )
138 resss 5129 . 2  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A
)  |`  ( R1 `  A ) )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A
)
139137, 138syl6eqss 3358 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U_ciun 4053    e. cmpt 4226   Tr wtr 4262   Oncon0 4541   suc csuc 4543   omcom 4804    X. cxp 4835   dom cdm 4837    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5408   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   reccrdg 6626   Fincfn 7068   R1cr1 7644   cardccrd 7778
This theorem is referenced by:  ackbij2lem4  8078
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-r1 7646  df-card 7782  df-cda 8004
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