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Theorem ackbij2lem2 8076
Description: Lemma for ackbij2 8079. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
ackbij.g  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij2lem2  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, G, y    x, A, y

Proof of Theorem ackbij2lem2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) )
2 fveq2 5687 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( R1
`  a )  =  ( R1 `  (/) ) )
32fveq2d 5691 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( card `  ( R1 `  a
) )  =  (
card `  ( R1 `  (/) ) ) )
41, 2, 3f1oeq123d 5630 . 2  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) )  <-> 
( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) ) ) )
5 fveq2 5687 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
6 fveq2 5687 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( R1 `  a )  =  ( R1 `  b
) )
76fveq2d 5691 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  =  ( card `  ( R1 `  b ) ) )
85, 6, 7f1oeq123d 5630 . 2  |-  ( a  =  b  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  b ) ) ) )
9 fveq2 5687 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
10 fveq2 5687 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( R1 `  a
)  =  ( R1
`  suc  b )
)
1110fveq2d 5691 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( card `  ( R1 `  a ) )  =  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
129, 10, 11f1oeq123d 5630 . 2  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  a ) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) ) )
13 fveq2 5687 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) )
14 fveq2 5687 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( R1 `  a )  =  ( R1 `  A
) )
1514fveq2d 5691 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  =  ( card `  ( R1 `  A ) ) )
1613, 14, 15f1oeq123d 5630 . 2  |-  ( a  =  A  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  A ) ) ) )
17 f1o0 5671 . . 3  |-  (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
18 0ex 4299 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
1918rdg0 6638 . . . . 5  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
20 f1oeq1 5624 . . . . 5  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) ) ) )
2119, 20ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) ) )
22 r10 7650 . . . . 5  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
2322fveq2i 5690 . . . . . 6  |-  ( card `  ( R1 `  (/) ) )  =  ( card `  (/) )
24 card0 7801 . . . . . 6  |-  ( card `  (/) )  =  (/)
2523, 24eqtri 2424 . . . . 5  |-  ( card `  ( R1 `  (/) ) )  =  (/)
26 f1oeq23 5627 . . . . 5  |-  ( ( ( R1 `  (/) )  =  (/)  /\  ( card `  ( R1 `  (/) ) )  =  (/) )  ->  ( (/) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: (/)
-1-1-onto-> (/) ) )
2722, 25, 26mp2an 654 . . . 4  |-  ( (/) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: (/)
-1-1-onto-> (/) )
2821, 27bitri 241 . . 3  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: (/)
-1-1-onto-> (/) )
2917, 28mpbir 201 . 2  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )
30 ackbij.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
3130ackbij1lem17 8072 . . . . . . . . 9  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) -1-1-> om
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  F : ( ~P om  i^i  Fin ) -1-1-> om )
33 r1fin 7655 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  b )  e. 
Fin )
34 ficardom 7804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R1 `  b )  e.  Fin  ->  ( card `  ( R1 `  b ) )  e. 
om )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  b ) )  e. 
om )
36 ackbij2lem1 8055 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  ( R1 `  b ) )  e. 
om  ->  ~P ( card `  ( R1 `  b
) )  C_  ( ~P om  i^i  Fin )
)
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ~P ( card `  ( R1 `  b ) )  C_  ( ~P om  i^i  Fin ) )
38 f1ores 5648 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ( ~P
om  i^i  Fin ) -1-1-> om  /\  ~P ( card `  ( R1 `  b
) )  C_  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( F  |` 
~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> ( F
" ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) ) )
3932, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) )
4030ackbij1b 8075 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  ( R1 `  b ) )  e. 
om  ->  ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  =  ( card `  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) )
4135, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  =  ( card `  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) )
42 ficardid 7805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  b )  e.  Fin  ->  ( card `  ( R1 `  b ) )  ~~  ( R1 `  b ) )
4333, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  b ) )  ~~  ( R1 `  b ) )
44 pwen 7239 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  ( R1 `  b ) )  ~~  ( R1 `  b )  ->  ~P ( card `  ( R1 `  b
) )  ~~  ~P ( R1 `  b ) )
45 carden2b 7810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) 
~~  ~P ( R1 `  b )  ->  ( card `  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
4643, 44, 453syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( card `  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
4741, 46eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
48 f1oeq3 5626 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  <-> 
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  (
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) -1-1-onto-> ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  <-> 
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
5039, 49mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> (
card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
5150adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( F  |` 
~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
52 f1opw 6258 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) )  ->  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) : ~P ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )
5352adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) : ~P ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )
54 f1oco 5657 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) )  /\  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> (
card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
5551, 53, 54syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
56 frsuc 6653 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  b )  =  ( G `  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  b ) ) )
57 peano2 4824 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  e.  om )
58 fvres 5704 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  b )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  b )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
60 fvres 5704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  b )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
6160fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  ( G `  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  b ) )  =  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) )
62 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V
63 dmeq 5029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  dom  x  =  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
)
6463pweqd 3764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  ~P dom  x  =  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
65 imaeq1 5157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  (
x " y )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) )
6665fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  ( F `  ( x " y ) )  =  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) )
6764, 66mpteq12dv 4247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  (
y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y
) ) ) )
68 ackbij.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
6962dmex 5091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V
7069pwex 4342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V
7170mptex 5925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  |->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) )  e.  _V
7267, 68, 71fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V  ->  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y
) ) ) )
7362, 72ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y
) ) )
7461, 73syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( G `  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y
) ) ) )
7556, 59, 743eqtr3d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( y  e. 
~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) ) ) )
7675adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) ) )
77 f1odm 5637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) )  ->  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( R1 `  b ) )
7877adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( R1 `  b ) )
7978pweqd 3764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
8079mpteq1d 4250 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  |->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) )  =  ( y  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) ) )
81 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) )  e.  _V
82 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) )  =  ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) )
8381, 82fnmpti 5532 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) )  Fn  ~P ( R1 `  b )
8483a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( y  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) ) )  Fn  ~P ( R1 `  b ) )
85 f1ofn 5634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) )  -> 
( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) )  Fn  ~P ( R1 `  b ) )
8655, 85syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) )  Fn 
~P ( R1 `  b ) )
87 f1of 5633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ~P ( card `  ( R1 `  b ) )  -> 
( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) : ~P ( R1 `  b ) --> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )
8853, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) : ~P ( R1
`  b ) --> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )
8988ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c )  e.  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )
90 fvres 5704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) `  c
)  e.  ~P ( card `  ( R1 `  b ) )  -> 
( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) )  =  ( F `
 ( ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) )  =  ( F `
 ( ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) ) )
92 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) )
93 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) )  =  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) )
94 imaexg 5176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " c )  e.  _V )
9562, 94ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" c )  e. 
_V
9692, 93, 95fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ~P ( R1
`  b )  -> 
( ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) `
 c )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) )
9796adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) )
9897fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( F `  ( ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) `
 c ) )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) ) )
9991, 98eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) )  =  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) ) )
100 fvco3 5759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) : ~P ( R1 `  b ) --> ~P ( card `  ( R1 `  b ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( (
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) `  c )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) ) )
10188, 100sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) `  c )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) ) )
102 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) )
103102fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) ) )
104 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) )  e.  _V
105103, 82, 104fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P ( R1
`  b )  -> 
( ( y  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) ) )
106105adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) ) )
10799, 101, 1063eqtr4rd 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) ) `  c )  =  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) `  c ) )
10884, 86, 107eqfnfvd 5789 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( y  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) ) )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) )
10980, 108eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  |->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) )
11076, 109eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) )
111 f1oeq1 5624 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) ) )
112110, 111syl 16 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) ) )
113 nnon 4810 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  On )
114 r1suc 7652 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  On  ->  ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
115113, 114syl 16 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
116115fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
117 f1oeq23 5627 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1 `  b )  /\  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
118115, 116, 117syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  (
( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) )  <-> 
( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> (
card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
119118adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( (
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
120112, 119bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> (
card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
12155, 120mpbird 224 . . 3  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) )
122121ex 424 . 2  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) ) )
1234, 8, 12, 16, 29, 122finds 4830 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U_ciun 4053   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   Oncon0 4541   suc csuc 4543   omcom 4804    X. cxp 4835   dom cdm 4837    |` cres 4839   "cima 4840    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   reccrdg 6626    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   R1cr1 7644   cardccrd 7778
This theorem is referenced by:  ackbij2lem3  8077  ackbij2  8079
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-r1 7646  df-card 7782  df-cda 8004
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