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Theorem ackbij2 8079
Description: The Ackermann bijection, part 2: hereditarily finite sets can be represented by recursive binary notation. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
ackbij.g  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
ackbij.h  |-  H  = 
U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )
Assertion
Ref Expression
ackbij2  |-  H : U. ( R1 " om )
-1-1-onto-> om
Distinct variable groups:    x, F, y    x, G, y    x, H, y

Proof of Theorem ackbij2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
2 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  e.  _V
31, 2fun11iun 5654 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  om  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-> om  /\ 
A. b  e.  om  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) )  ->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e. 
om  ( R1 `  a ) -1-1-> om )
4 ackbij.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
5 ackbij.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
64, 5ackbij2lem2 8076 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) ) )
7 f1of1 5632 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a )
-1-1-> ( card `  ( R1 `  a ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-> ( card `  ( R1 `  a
) ) )
9 ordom 4813 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
10 r1fin 7655 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  om  ->  ( R1 `  a )  e. 
Fin )
11 ficardom 7804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1 `  a )  e.  Fin  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  e. 
om )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  e. 
om )
13 ordelss 4557 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  ( card `  ( R1 `  a ) )  e. 
om )  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  C_  om )
149, 12, 13sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  C_  om )
15 f1ss 5603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-> (
card `  ( R1 `  a ) )  /\  ( card `  ( R1 `  a ) )  C_  om )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a )
-1-1-> om )
168, 14, 15syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-> om )
17 nnord 4812 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  om  ->  Ord  a )
18 nnord 4812 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  Ord  b )
19 ordtri2or2 4637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  a  /\  Ord  b )  ->  (
a  C_  b  \/  b  C_  a ) )
2017, 18, 19syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( a  C_  b  \/  b  C_  a ) )
214, 5ackbij2lem4 8078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  a  e.  om )  /\  a  C_  b )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
)
2221ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  a  e.  om )  ->  ( a  C_  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) ) )
2322ancoms 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( a  C_  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) ) )
244, 5ackbij2lem4 8078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  a )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )
)
2524ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( b  C_  a  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) )
2623, 25orim12d 812 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( a  C_  b  \/  b  C_  a )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
) ) ) )
2720, 26mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) )
2827ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  A. b  e.  om  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
) ) )
2916, 28jca 519 . . . . 5  |-  ( a  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-> om  /\ 
A. b  e.  om  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) ) )
303, 29mprg 2735 . . . 4  |-  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e.  om  ( R1 `  a ) -1-1-> om
31 rdgfun 6633 . . . . . 6  |-  Fun  rec ( G ,  (/) )
32 funiunfv 5954 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
rec ( G ,  (/) )  ->  U_ a  e. 
om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )
)
3332eqcomd 2409 . . . . . 6  |-  ( Fun 
rec ( G ,  (/) )  ->  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  = 
U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) )
34 f1eq1 5593 . . . . . 6  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  ->  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om ) )
3531, 33, 34mp2b 10 . . . . 5  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om )
36 r1funlim 7648 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
3736simpli 445 . . . . . 6  |-  Fun  R1
38 funiunfv 5954 . . . . . 6  |-  ( Fun 
R1  ->  U_ a  e.  om  ( R1 `  a )  =  U. ( R1
" om ) )
39 f1eq2 5594 . . . . . 6  |-  ( U_ a  e.  om  ( R1 `  a )  = 
U. ( R1 " om )  ->  ( U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e.  om  ( R1 `  a )
-1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om ) )
4037, 38, 39mp2b 10 . . . . 5  |-  ( U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e.  om  ( R1 `  a )
-1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om )
4135, 40bitr4i 244 . . . 4  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e. 
om  ( R1 `  a ) -1-1-> om )
4230, 41mpbir 201 . . 3  |-  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om
43 rnuni 5242 . . . 4  |-  ran  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a
44 eliun 4057 . . . . . 6  |-  ( b  e.  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a  <->  E. a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) b  e.  ran  a )
45 df-rex 2672 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) b  e.  ran  a  <->  E. a
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a ) )
46 funfn 5441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
rec ( G ,  (/) )  <->  rec ( G ,  (/) )  Fn  dom  rec ( G ,  (/) ) )
4731, 46mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  rec ( G ,  (/) )  Fn 
dom  rec ( G ,  (/) )
48 rdgdmlim 6634 . . . . . . . . . . . 12  |-  Lim  dom  rec ( G ,  (/) )
49 limomss 4809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim 
dom  rec ( G ,  (/) )  ->  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) ) )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) )
51 fvelimab 5741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( G ,  (/) )  Fn  dom  rec ( G ,  (/) )  /\  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) ) )  -> 
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  <->  E. c  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a ) )
5247, 50, 51mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  <->  E. c  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a )
534, 5ackbij2lem2 8076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  c ) ) )
54 f1ofo 5640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  c ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c )
-onto-> ( card `  ( R1 `  c ) ) )
55 forn 5615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c ) -onto-> ( card `  ( R1 `  c
) )  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  ( card `  ( R1 `  c ) ) )
5653, 54, 553syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  om  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  ( card `  ( R1 `  c ) ) )
57 r1fin 7655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  om  ->  ( R1 `  c )  e. 
Fin )
58 ficardom 7804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R1 `  c )  e.  Fin  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  e. 
om )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  e. 
om )
60 ordelss 4557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  om  /\  ( card `  ( R1 `  c ) )  e. 
om )  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  C_  om )
619, 59, 60sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  C_  om )
6256, 61eqsstrd 3342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  om  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) 
C_  om )
63 rneq 5054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  ran  a )
6463sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a  ->  ( ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c
)  C_  om  <->  ran  a  C_  om ) )
6562, 64syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  c
)  =  a  ->  ran  a  C_  om )
)
6665rexlimiv 2784 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. c  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a  ->  ran  a  C_ 
om )
6752, 66sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  ->  ran  a  C_ 
om )
6867sselda 3308 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  ->  b  e.  om )
6968exlimiv 1641 . . . . . . 7  |-  ( E. a ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  ->  b  e.  om )
70 peano2 4824 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  e.  om )
71 fnfvima 5935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( G ,  (/) )  Fn  dom  rec ( G ,  (/) )  /\  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) )  /\  suc  b  e.  om )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )
)
7247, 50, 71mp3an12 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) )
7370, 72syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) )
74 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
75 cardnn 7806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  b  e.  om  ->  (
card `  suc  b )  =  suc  b )
76 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1
`  suc  b )  e.  _V
7736simpri 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Lim  dom  R1
78 limomss 4809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  om  C_  dom  R1 )
7977, 78ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  om  C_  dom  R1
8079sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  dom  R1 )
81 onssr1 7713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  dom  R1  ->  suc  b  C_  ( R1 `  suc  b ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  C_  ( R1 ` 
suc  b ) )
83 ssdomg 7112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R1 `  suc  b
)  e.  _V  ->  ( suc  b  C_  ( R1 `  suc  b )  ->  suc  b  ~<_  ( R1
`  suc  b )
) )
8476, 82, 83mpsyl 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  ~<_  ( R1 `  suc  b ) )
85 nnon 4810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  On )
86 onenon 7792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  On  ->  suc  b  e.  dom  card )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  dom  card )
88 r1fin 7655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b
)  e.  Fin )
89 finnum 7791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R1 `  suc  b
)  e.  Fin  ->  ( R1 `  suc  b
)  e.  dom  card )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b
)  e.  dom  card )
91 carddom2 7820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( suc  b  e.  dom  card  /\  ( R1 `  suc  b )  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  suc  b ) 
C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  suc  b  ~<_  ( R1
`  suc  b )
) )
9287, 90, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( ( card `  suc  b )  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  suc  b  ~<_  ( R1 `  suc  b
) ) )
9384, 92mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  b  e.  om  ->  (
card `  suc  b ) 
C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
9475, 93eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
9570, 94syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
96 sucssel 4633 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  _V  ->  ( suc  b  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  -> 
b  e.  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) ) )
9774, 95, 96mpsyl 61 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
984, 5ackbij2lem2 8076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
9970, 98syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
100 f1ofo 5640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b
) -onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
101 forn 5615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -onto->
( card `  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  (
card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) )
10299, 100, 1013syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  =  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
10397, 102eleqtrrd 2481 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
104 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  _V
105 eleq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )
) )
106 rneq 5054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  ran  a  =  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
107106eleq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
b  e.  ran  a  <->  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) )
108105, 107anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  <->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) ) )
109104, 108spcev 3003 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) )  ->  E. a
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a ) )
11073, 103, 109syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  E. a
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a ) )
11169, 110impbii 181 . . . . . 6  |-  ( E. a ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  <->  b  e.  om )
11244, 45, 1113bitri 263 . . . . 5  |-  ( b  e.  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a  <->  b  e.  om )
113112eqriv 2401 . . . 4  |-  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a  =  om
11443, 113eqtri 2424 . . 3  |-  ran  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  om
115 dff1o5 5642 . . 3  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om  <->  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  /\  ran  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  om ) )
11642, 114, 115mpbir2an 887 . 2  |-  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om
117 ackbij.h . . 3  |-  H  = 
U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )
118 f1oeq1 5624 . . 3  |-  ( H  =  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  -> 
( H : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om  <->  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1
" om ) -1-1-onto-> om )
)
119117, 118ax-mp 8 . 2  |-  ( H : U. ( R1
" om ) -1-1-onto-> om  <->  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om )
120116, 119mpbir 201 1  |-  H : U. ( R1 " om )
-1-1-onto-> om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   U_ciun 4053   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   Ord word 4540   Oncon0 4541   Lim wlim 4542   suc csuc 4543   omcom 4804    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   reccrdg 6626    ~<_ cdom 7066   Fincfn 7068   R1cr1 7644   cardccrd 7778
This theorem is referenced by:  r1om  8080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-r1 7646  df-rank 7647  df-card 7782  df-cda 8004
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