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Theorem ackbij1lem9 8064
Description: Lemma for ackbij1 8074. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem9  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( F `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( F `  A )  +o  ( F `  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem ackbij1lem9
StepHypRef Expression
1 inss2 3522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
21sseli 3304 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
323ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A  e.  Fin )
4 snfi 7146 . . . . . . . . . 10  |-  { y }  e.  Fin
5 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
65sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  ~P om )
76elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  C_ 
om )
873ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A  C_  om )
9 onfin2 7257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
10 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
119, 10eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  C_  Fin
128, 11syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A  C_  Fin )
1312sselda 3308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  Fin )
14 pwfi 7360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Fin  <->  ~P y  e.  Fin )
1513, 14sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  A )  ->  ~P y  e.  Fin )
16 xpfi 7337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ~P y  e. 
Fin )  ->  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
174, 15, 16sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  A )  ->  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
1817ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A. y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
19 iunfi 7353 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
203, 18, 19syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
21 ficardid 7805 . . . . . . 7  |-  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y ) )
2220, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  ~~  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )
231sseli 3304 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  e.  Fin )
24233ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  B  e.  Fin )
255sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  e.  ~P om )
2625elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  C_ 
om )
27263ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  B  C_  om )
2827, 11syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  B  C_  Fin )
2928sselda 3308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  Fin )
3029, 14sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  B )  ->  ~P y  e.  Fin )
314, 30, 16sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  B )  ->  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
3231ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A. y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
33 iunfi 7353 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A. y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
3424, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
35 ficardid 7805 . . . . . . 7  |-  ( U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) )  ~~  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) )
37 cdaen 8009 . . . . . 6  |-  ( ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  /\  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) )  ~~  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) )  -> 
( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  ( U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
3822, 36, 37syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  ( U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
39 djudisj 5256 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  i^i  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  =  (/) )
40393ad2ant3 980 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  i^i  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  =  (/) )
41 cdaun 8008 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  /\ 
U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  /\  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
)  i^i  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) )  =  (/) )  ->  ( U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  ~~  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  u.  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
4220, 34, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  ~~  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  u.  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
43 iunxun 4132 . . . . . 6  |-  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
)  =  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  u.  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )
4442, 43syl6breqr 4212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) )
45 entr 7118 . . . . 5  |-  ( ( ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  ( U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  /\  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) )  -> 
( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) )
4638, 44, 45syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) )
47 carden2b 7810 . . . 4  |-  ( ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y )  ->  ( card `  (
( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )  =  ( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
) ) )
4846, 47syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )  =  ( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
) ) )
49 ficardom 7804 . . . . 5  |-  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  e. 
om )
5020, 49syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  e.  om )
51 ficardom 7804 . . . . 5  |-  ( U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) )  e. 
om )
5234, 51syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) )  e.  om )
53 nnacda 8037 . . . 4  |-  ( ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  e. 
om  /\  ( card ` 
U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  e. 
om )  ->  ( card `  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) )  =  ( (
card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )
5450, 52, 53syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )  =  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y ) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) )
5548, 54eqtr3d 2438 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
) )  =  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) )
56 ackbij1lem6 8061 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
57563adant3 977 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( A  u.  B
)  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
58 ackbij.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
5958ackbij1lem7 8062 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( A  u.  B ) )  =  ( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
) ) )
6057, 59syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( F `  ( A  u.  B )
)  =  ( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) ) )
6158ackbij1lem7 8062 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  A )  =  ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
6258ackbij1lem7 8062 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  B )  =  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
6361, 62oveqan12d 6059 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( F `  A )  +o  ( F `  B
) )  =  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) )
64633adant3 977 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( F `  A )  +o  ( F `  B )
)  =  ( (
card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )
6555, 60, 643eqtr4d 2446 1  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( F `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( F `  A )  +o  ( F `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U_ciun 4053   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   Oncon0 4541   omcom 4804    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    +o coa 6680    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   cardccrd 7778    +c ccda 8003
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  8067  ackbij1lem13  8068  ackbij1lem14  8069  ackbij1lem16  8071  ackbij1lem18  8073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004
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