MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem6 Unicode version

Theorem ackbij1lem6 8061
Description: Lemma for ackbij2 8079. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )

Proof of Theorem ackbij1lem6
StepHypRef Expression
1 inss1 3521 . . . . 5  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
21sseli 3304 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  ~P om )
31sseli 3304 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  e.  ~P om )
4 elpwi 3767 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P om  ->  A 
C_  om )
5 elpwi 3767 . . . . 5  |-  ( B  e.  ~P om  ->  B 
C_  om )
6 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  om  /\  B  C_ 
om )  ->  A  C_ 
om )
7 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  om  /\  B  C_ 
om )  ->  B  C_ 
om )
86, 7unssd 3483 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  om  /\  B  C_ 
om )  ->  ( A  u.  B )  C_ 
om )
94, 5, 8syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~P om  /\  B  e.  ~P om )  ->  ( A  u.  B )  C_  om )
102, 3, 9syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  C_  om )
11 inss2 3522 . . . . . 6  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
1211sseli 3304 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
1311sseli 3304 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  e.  Fin )
14 unfi 7333 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
1512, 13, 14syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
16 elpwg 3766 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  ->  (
( A  u.  B
)  e.  ~P om  <->  ( A  u.  B ) 
C_  om ) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( A  u.  B )  e.  ~P om  <->  ( A  u.  B )  C_  om )
)
1810, 17mpbird 224 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  ~P om )
19 elin 3490 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  <->  ( ( A  u.  B )  e.  ~P om  /\  ( A  u.  B )  e.  Fin ) )
2018, 15, 19sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   omcom 4804   Fincfn 7068
This theorem is referenced by:  ackbij1lem9  8064  ackbij1lem18  8073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072
  Copyright terms: Public domain W3C validator