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Theorem ackbij1lem15 8070
Description: Lemma for ackbij1 8074. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem15  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  -.  ( F `  ( A  i^i  suc  c )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  c ) ) )
Distinct variable groups:    F, c, x, y    A, c, x, y    B, c, x, y

Proof of Theorem ackbij1lem15
StepHypRef Expression
1 simpr1 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  c  e.  om )
2 ackbij1lem3 8058 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  om  ->  c  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  c  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
4 simpr3 965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  -.  c  e.  B )
5 ackbij1lem1 8056 . . . . . . . 8  |-  ( -.  c  e.  B  -> 
( B  i^i  suc  c )  =  ( B  i^i  c ) )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( B  i^i  suc  c )  =  ( B  i^i  c ) )
7 inss2 3522 . . . . . . 7  |-  ( B  i^i  c )  C_  c
86, 7syl6eqss 3358 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( B  i^i  suc  c )  C_  c )
9 ackbij.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
109ackbij1lem12 8067 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( B  i^i  suc  c )  C_  c
)  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  c ) )  C_  ( F `  c ) )
113, 8, 10syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  c ) ) 
C_  ( F `  c ) )
129ackbij1lem10 8065 . . . . . . . . . 10  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
1312ffvelrni 5828 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  c )  e.  om )
14 nnon 4810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  c )  e.  om  ->  ( F `  c )  e.  On )
153, 13, 143syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  c )  e.  On )
16 onpsssuc 4758 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  c )  e.  On  ->  ( F `  c )  C.  suc  ( F `  c ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  c )  C.  suc  ( F `  c ) )
189ackbij1lem14 8069 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  om  ->  ( F `  { c } )  =  suc  ( F `  c ) )
191, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  { c } )  =  suc  ( F `  c ) )
2019psseq2d 3400 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  (
( F `  c
)  C.  ( F `  { c } )  <-> 
( F `  c
)  C.  suc  ( F `
 c ) ) )
2117, 20mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  c )  C.  ( F `  {
c } ) )
22 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
23 inss1 3521 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  suc  c )  C_  A
249ackbij1lem11 8066 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  suc  c )  C_  A
)  ->  ( A  i^i  suc  c )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
2522, 23, 24sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( A  i^i  suc  c )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
26 ssun1 3470 . . . . . . . 8  |-  { c }  C_  ( {
c }  u.  ( A  i^i  c ) )
27 simpr2 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  c  e.  A )
28 ackbij1lem2 8057 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  A  ->  ( A  i^i  suc  c )  =  ( { c }  u.  ( A  i^i  c ) ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( A  i^i  suc  c )  =  ( { c }  u.  ( A  i^i  c ) ) )
3026, 29syl5sseqr 3357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  { c }  C_  ( A  i^i  suc  c ) )
319ackbij1lem12 8067 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  suc  c )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  { c } 
C_  ( A  i^i  suc  c ) )  -> 
( F `  {
c } )  C_  ( F `  ( A  i^i  suc  c )
) )
3225, 30, 31syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  { c } )  C_  ( F `  ( A  i^i  suc  c ) ) )
3321, 32psssstrd 3416 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  c )  C.  ( F `  ( A  i^i  suc  c )
) )
3411, 33sspsstrd 3415 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  c ) ) 
C.  ( F `  ( A  i^i  suc  c
) ) )
3534pssned 3405 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  c ) )  =/=  ( F `  ( A  i^i  suc  c
) ) )
3635necomd 2650 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  c ) )  =/=  ( F `  ( B  i^i  suc  c
) ) )
3736neneqd 2583 1  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  -.  ( F `  ( A  i^i  suc  c )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  c ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280    C. wpss 3281   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U_ciun 4053    e. cmpt 4226   Oncon0 4541   suc csuc 4543   omcom 4804    X. cxp 4835   ` cfv 5413   Fincfn 7068   cardccrd 7778
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  8071
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004
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