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Theorem aciunf1lem 28339
Description: Choice in an index union. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
acunirnmpt.0  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
acunirnmpt.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
aciunf1lem.a  |-  F/_ j A
aciunf1lem.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
Assertion
Ref Expression
aciunf1lem  |-  ( ph  ->  E. f ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  x )
)  =  x ) )
Distinct variable groups:    f, j, x    A, f, x    B, f, x    x, j, ph    j, W
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( j)    B( j)    V( x, f, j)    W( x, f)

Proof of Theorem aciunf1lem
Dummy variables  k 
y  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acunirnmpt.0 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 acunirnmpt.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
3 aciunf1lem.a . . 3  |-  F/_ j A
4 nfiu1 4299 . . 3  |-  F/_ j U_ j  e.  A  B
5 nfcsb1v 3365 . . 3  |-  F/_ j [_ ( g `  x
)  /  j ]_ B
6 eqid 2471 . . 3  |-  U_ j  e.  A  B  =  U_ j  e.  A  B
7 csbeq1a 3358 . . 3  |-  ( j  =  ( g `  x )  ->  B  =  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B )
8 aciunf1lem.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8acunirnmpt2f 28338 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )
10 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
11 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  g : U_ j  e.  A  B --> A
12 nfra1 2785 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B
1311, 12nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
)
1410, 13nfan 2031 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )
15 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j
ph
16 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
g
1716, 4, 3nff 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  g : U_ j  e.  A  B --> A
18 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j
x
1918, 5nfel 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j  x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
204, 19nfral 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `
 x )  / 
j ]_ B
2117, 20nfan 2031 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
)
2215, 21nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )
2318, 4nfel 2624 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j  x  e.  U_ j  e.  A  B
2422, 23nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )
25 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j <. ( g `  x
) ,  x >.
26 nfiu1 4299 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )
2725, 26nfel 2624 . . . . . . . . 9  |-  F/ j
<. ( g `  x
) ,  x >.  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )
28 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  -> 
( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )
2928simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  -> 
g : U_ j  e.  A  B --> A )
3029ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  g : U_ j  e.  A  B
--> A )
31 simpllr 777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U_ j  e.  A  B )
3230, 31ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
g `  x )  e.  A )
33 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
3433snid 3988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g `
 x )  e. 
{ ( g `  x ) }
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
g `  x )  e.  { ( g `  x ) } )
3628simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  ->  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B )
37 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  ->  x  e.  U_ j  e.  A  B )
38 rsp 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e. 
[_ ( g `  x )  /  j ]_ B  ->  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  ->  x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )
3936, 37, 38sylc 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  ->  x  e.  [_ ( g `
 x )  / 
j ]_ B )
4039ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B )
4135, 40jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
( g `  x
)  e.  { ( g `  x ) }  /\  x  e. 
[_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )
42 opelxp 4869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( g `  x
) ,  x >.  e.  ( { ( g `
 x ) }  X.  [_ ( g `
 x )  / 
j ]_ B )  <->  ( (
g `  x )  e.  { ( g `  x ) }  /\  x  e.  [_ ( g `
 x )  / 
j ]_ B ) )
4341, 42sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  <. (
g `  x ) ,  x >.  e.  ( { ( g `  x ) }  X.  [_ ( g `  x
)  /  j ]_ B ) )
44 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  { k }  =  { ( g `  x ) } )
45 csbeq1 3352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  [_ k  /  j ]_ B  =  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B )
4644, 45xpeq12d 4864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  ( { k }  X.  [_ k  /  j ]_ B )  =  ( { ( g `  x ) }  X.  [_ ( g `  x
)  /  j ]_ B ) )
4746eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  ( <. ( g `  x
) ,  x >.  e.  ( { k }  X.  [_ k  / 
j ]_ B )  <->  <. ( g `
 x ) ,  x >.  e.  ( { ( g `  x ) }  X.  [_ ( g `  x
)  /  j ]_ B ) ) )
4847rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g `  x
)  e.  A  /\  <.
( g `  x
) ,  x >.  e.  ( { ( g `
 x ) }  X.  [_ ( g `
 x )  / 
j ]_ B ) )  ->  E. k  e.  A  <. ( g `  x
) ,  x >.  e.  ( { k }  X.  [_ k  / 
j ]_ B ) )
4932, 43, 48syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  E. k  e.  A  <. ( g `
 x ) ,  x >.  e.  ( { k }  X.  [_ k  /  j ]_ B ) )
50 eliun 4274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( g `  x
) ,  x >.  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  A  <. ( g `
 x ) ,  x >.  e.  ( { j }  X.  B ) )
51 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k A
52 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
<. ( g `  x
) ,  x >.  e.  ( { j }  X.  B )
53 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j { k }
54 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j [_ k  /  j ]_ B
5553, 54nfxp 4866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
( { k }  X.  [_ k  / 
j ]_ B )
5625, 55nfel 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j
<. ( g `  x
) ,  x >.  e.  ( { k }  X.  [_ k  / 
j ]_ B )
57 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  { j }  =  { k } )
58 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  B  =  [_ k  /  j ]_ B )
5957, 58xpeq12d 4864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  ( { j }  X.  B )  =  ( { k }  X.  [_ k  /  j ]_ B ) )
6059eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  ( <. ( g `  x
) ,  x >.  e.  ( { j }  X.  B )  <->  <. ( g `
 x ) ,  x >.  e.  ( { k }  X.  [_ k  /  j ]_ B ) ) )
613, 51, 52, 56, 60cbvrexf 3000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  A  <. ( g `  x ) ,  x >.  e.  ( { j }  X.  B )  <->  E. k  e.  A  <. ( g `
 x ) ,  x >.  e.  ( { k }  X.  [_ k  /  j ]_ B ) )
6250, 61bitri 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
( g `  x
) ,  x >.  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  E. k  e.  A  <. ( g `
 x ) ,  x >.  e.  ( { k }  X.  [_ k  /  j ]_ B ) )
6349, 62sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  <. (
g `  x ) ,  x >.  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
64 eliun 4274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  <->  E. j  e.  A  x  e.  B )
6564biimpi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
6665adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
6724, 27, 63, 66r19.29af2 2915 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  ->  <. ( g `  x
) ,  x >.  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
6867ex 441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  (
x  e.  U_ j  e.  A  B  ->  <.
( g `  x
) ,  x >.  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )
6914, 68ralrimi 2800 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  A. x  e.  U_  j  e.  A  B <. ( g `  x ) ,  x >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
70 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
7133, 70opth 4676 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( g `  x
) ,  x >.  = 
<. ( g `  y
) ,  y >.  <->  ( ( g `  x
)  =  ( g `
 y )  /\  x  =  y )
)
7271simprbi 471 . . . . . . . 8  |-  ( <.
( g `  x
) ,  x >.  = 
<. ( g `  y
) ,  y >.  ->  x  =  y )
7372rgen2w 2769 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  U_  j  e.  A  B A. y  e.  U_  j  e.  A  B
( <. ( g `  x ) ,  x >.  =  <. ( g `  y ) ,  y
>.  ->  x  =  y )
7473a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  A. x  e.  U_  j  e.  A  B A. y  e.  U_  j  e.  A  B
( <. ( g `  x ) ,  x >.  =  <. ( g `  y ) ,  y
>.  ->  x  =  y ) )
7569, 74jca 541 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  ( A. x  e.  U_  j  e.  A  B <. ( g `  x ) ,  x >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B A. y  e.  U_  j  e.  A  B ( <. (
g `  x ) ,  x >.  =  <. ( g `  y ) ,  y >.  ->  x  =  y ) ) )
76 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <. (
g `  x ) ,  x >. )  =  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <.
( g `  x
) ,  x >. )
77 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
g `  x )  =  ( g `  y ) )
78 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
7977, 78opeq12d 4166 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  <. (
g `  x ) ,  x >.  =  <. ( g `  y ) ,  y >. )
8076, 79f1mpt 6180 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <.
( g `  x
) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  <->  ( A. x  e.  U_  j  e.  A  B <. ( g `  x ) ,  x >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B A. y  e.  U_  j  e.  A  B
( <. ( g `  x ) ,  x >.  =  <. ( g `  y ) ,  y
>.  ->  x  =  y ) ) )
8175, 80sylibr 217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  (
x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <.
( g `  x
) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
82 opex 4664 . . . . . . . . . 10  |-  <. (
g `  x ) ,  x >.  e.  _V
8376fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  /\  <.
( g `  x
) ,  x >.  e. 
_V )  ->  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x )  = 
<. ( g `  x
) ,  x >. )
8482, 83mpan2 685 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  ->  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x )  = 
<. ( g `  x
) ,  x >. )
8537, 84syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  -> 
( ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. ) `  x )  =  <. ( g `  x ) ,  x >. )
8685fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  -> 
( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  ( 2nd `  <. ( g `  x ) ,  x >. )
)
8733, 70op2nd 6821 . . . . . . 7  |-  ( 2nd `  <. ( g `  x ) ,  x >. )  =  x
8886, 87syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  -> 
( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x )
8988ex 441 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  (
x  e.  U_ j  e.  A  B  ->  ( 2nd `  ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <.
( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x ) )
9014, 89ralrimi 2800 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x )
9181, 90jca 541 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x ) )
92 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
k
9392, 3nfel 2624 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j  k  e.  A
9415, 93nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( ph  /\  k  e.  A )
95 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j W
9654, 95nfel 2624 . . . . . . . . 9  |-  F/ j
[_ k  /  j ]_ B  e.  W
9794, 96nfim 2023 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  [_ k  /  j ]_ B  e.  W
)
98 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
9998anbi2d 718 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  /\  j  e.  A )  <->  ( ph  /\  k  e.  A ) ) )
10058eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( B  e.  W  <->  [_ k  / 
j ]_ B  e.  W
) )
10199, 100imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )  <-> 
( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  [_ k  /  j ]_ B  e.  W
) ) )
10297, 101, 8chvar 2119 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  [_ k  /  j ]_ B  e.  W )
103102ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  [_ k  /  j ]_ B  e.  W )
104 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ k B
1053, 51, 104, 54, 58cbviunf 28247 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  A  B  =  U_ k  e.  A  [_ k  /  j ]_ B
106 iunexg 6788 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  [_ k  /  j ]_ B  e.  W )  ->  U_ k  e.  A  [_ k  / 
j ]_ B  e.  _V )
107105, 106syl5eqel 2553 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  [_ k  /  j ]_ B  e.  W )  ->  U_ j  e.  A  B  e.  _V )
1081, 103, 107syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  B  e.  _V )
109 mptexg 6151 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  A  B  e.  _V  ->  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )  e.  _V )
110 f1eq1 5787 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )  ->  ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) ) )
111 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
f
112 nfmpt1 4485 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. )
113111, 112nfeq 2623 . . . . . . . 8  |-  F/ x  f  =  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )
114 fveq1 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )  ->  ( f `  x )  =  ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )
115114fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )  ->  ( 2nd `  ( f `  x
) )  =  ( 2nd `  ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <.
( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) ) )
116115eqeq1d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )  ->  ( ( 2nd `  ( f `  x ) )  =  x  <->  ( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x ) )
117113, 116ralbid 2826 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )  ->  ( A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  x
) )  =  x  <->  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <. (
g `  x ) ,  x >. ) `  x
) )  =  x ) )
118110, 117anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )  ->  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  x )
)  =  x )  <-> 
( ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x ) ) )
119118spcegv 3121 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <.
( g `  x
) ,  x >. )  e.  _V  ->  (
( ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x )  ->  E. f ( f :
U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  x
) )  =  x ) ) )
120108, 109, 1193syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <. (
g `  x ) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. ) `  x ) )  =  x )  ->  E. f ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  x )
)  =  x ) ) )
121120adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  (
( ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x )  ->  E. f ( f :
U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  x
) )  =  x ) ) )
12291, 121mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  E. f
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  x
) )  =  x ) )
1239, 122exlimddv 1789 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  x )
)  =  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   F/_wnfc 2599    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [_csb 3349   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965   U_ciun 4269    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589   2ndc2nd 6811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-en 7588  df-r1 8253  df-rank 8254  df-card 8391  df-ac 8565
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