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Theorem aciunf1lem 28254
Description: Choice in an index union. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
acunirnmpt.0  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
acunirnmpt.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
aciunf1lem.a  |-  F/_ j A
aciunf1lem.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
Assertion
Ref Expression
aciunf1lem  |-  ( ph  ->  E. f ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  x )
)  =  x ) )
Distinct variable groups:    f, j, x    A, f, x    B, f, x    x, j, ph    j, W
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( j)    B( j)    V( x, f, j)    W( x, f)

Proof of Theorem aciunf1lem
Dummy variables  k 
y  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acunirnmpt.0 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 acunirnmpt.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
3 aciunf1lem.a . . 3  |-  F/_ j A
4 nfiu1 4326 . . 3  |-  F/_ j U_ j  e.  A  B
5 nfcsb1v 3411 . . 3  |-  F/_ j [_ ( g `  x
)  /  j ]_ B
6 eqid 2422 . . 3  |-  U_ j  e.  A  B  =  U_ j  e.  A  B
7 csbeq1a 3404 . . 3  |-  ( j  =  ( g `  x )  ->  B  =  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B )
8 aciunf1lem.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8acunirnmpt2f 28253 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )
10 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
11 nfv 1751 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  g : U_ j  e.  A  B --> A
12 nfra1 2806 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B
1311, 12nfan 1984 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
)
1410, 13nfan 1984 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )
15 nfv 1751 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j
ph
16 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
g
1716, 4, 3nff 5739 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  g : U_ j  e.  A  B --> A
18 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j
x
1918, 5nfel 2597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j  x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
204, 19nfral 2811 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `
 x )  / 
j ]_ B
2117, 20nfan 1984 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
)
2215, 21nfan 1984 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )
2318, 4nfel 2597 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j  x  e.  U_ j  e.  A  B
2422, 23nfan 1984 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )
25 nfcv 2584 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j <. ( g `  x
) ,  x >.
26 nfiu1 4326 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )
2725, 26nfel 2597 . . . . . . . . 9  |-  F/ j
<. ( g `  x
) ,  x >.  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )
28 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  -> 
( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )
2928simpld 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  -> 
g : U_ j  e.  A  B --> A )
3029ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  g : U_ j  e.  A  B
--> A )
31 simpllr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U_ j  e.  A  B )
3230, 31ffvelrnd 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
g `  x )  e.  A )
33 fvex 5888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
3433snid 4024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g `
 x )  e. 
{ ( g `  x ) }
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
g `  x )  e.  { ( g `  x ) } )
3628simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  ->  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B )
37 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  ->  x  e.  U_ j  e.  A  B )
38 rsp 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e. 
[_ ( g `  x )  /  j ]_ B  ->  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  ->  x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )
3936, 37, 38sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  ->  x  e.  [_ ( g `
 x )  / 
j ]_ B )
4039ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B )
4135, 40jca 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
( g `  x
)  e.  { ( g `  x ) }  /\  x  e. 
[_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )
42 opelxp 4880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( g `  x
) ,  x >.  e.  ( { ( g `
 x ) }  X.  [_ ( g `
 x )  / 
j ]_ B )  <->  ( (
g `  x )  e.  { ( g `  x ) }  /\  x  e.  [_ ( g `
 x )  / 
j ]_ B ) )
4341, 42sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  <. (
g `  x ) ,  x >.  e.  ( { ( g `  x ) }  X.  [_ ( g `  x
)  /  j ]_ B ) )
44 sneq 4006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  { k }  =  { ( g `  x ) } )
45 csbeq1 3398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  [_ k  /  j ]_ B  =  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B )
4644, 45xpeq12d 4875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  ( { k }  X.  [_ k  /  j ]_ B )  =  ( { ( g `  x ) }  X.  [_ ( g `  x
)  /  j ]_ B ) )
4746eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  ( <. ( g `  x
) ,  x >.  e.  ( { k }  X.  [_ k  / 
j ]_ B )  <->  <. ( g `
 x ) ,  x >.  e.  ( { ( g `  x ) }  X.  [_ ( g `  x
)  /  j ]_ B ) ) )
4847rspcev 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g `  x
)  e.  A  /\  <.
( g `  x
) ,  x >.  e.  ( { ( g `
 x ) }  X.  [_ ( g `
 x )  / 
j ]_ B ) )  ->  E. k  e.  A  <. ( g `  x
) ,  x >.  e.  ( { k }  X.  [_ k  / 
j ]_ B ) )
4932, 43, 48syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  E. k  e.  A  <. ( g `
 x ) ,  x >.  e.  ( { k }  X.  [_ k  /  j ]_ B ) )
50 eliun 4301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( g `  x
) ,  x >.  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  A  <. ( g `
 x ) ,  x >.  e.  ( { j }  X.  B ) )
51 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k A
52 nfv 1751 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
<. ( g `  x
) ,  x >.  e.  ( { j }  X.  B )
53 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j { k }
54 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j [_ k  /  j ]_ B
5553, 54nfxp 4877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j
( { k }  X.  [_ k  / 
j ]_ B )
5625, 55nfel 2597 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j
<. ( g `  x
) ,  x >.  e.  ( { k }  X.  [_ k  / 
j ]_ B )
57 sneq 4006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  { j }  =  { k } )
58 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  B  =  [_ k  /  j ]_ B )
5957, 58xpeq12d 4875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  ( { j }  X.  B )  =  ( { k }  X.  [_ k  /  j ]_ B ) )
6059eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  ( <. ( g `  x
) ,  x >.  e.  ( { j }  X.  B )  <->  <. ( g `
 x ) ,  x >.  e.  ( { k }  X.  [_ k  /  j ]_ B ) ) )
613, 51, 52, 56, 60cbvrexf 3050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  A  <. ( g `  x ) ,  x >.  e.  ( { j }  X.  B )  <->  E. k  e.  A  <. ( g `
 x ) ,  x >.  e.  ( { k }  X.  [_ k  /  j ]_ B ) )
6250, 61bitri 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
( g `  x
) ,  x >.  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  E. k  e.  A  <. ( g `
 x ) ,  x >.  e.  ( { k }  X.  [_ k  /  j ]_ B ) )
6349, 62sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  <. (
g `  x ) ,  x >.  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
64 eliun 4301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  <->  E. j  e.  A  x  e.  B )
6564biimpi 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
6665adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  ->  E. j  e.  A  x  e.  B )
6724, 27, 63, 66r19.29af2 2966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  ->  <. ( g `  x
) ,  x >.  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
6867ex 435 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  (
x  e.  U_ j  e.  A  B  ->  <.
( g `  x
) ,  x >.  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )
6914, 68ralrimi 2825 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  A. x  e.  U_  j  e.  A  B <. ( g `  x ) ,  x >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
70 vex 3084 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
7133, 70opth 4692 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( g `  x
) ,  x >.  = 
<. ( g `  y
) ,  y >.  <->  ( ( g `  x
)  =  ( g `
 y )  /\  x  =  y )
)
7271simprbi 465 . . . . . . . 8  |-  ( <.
( g `  x
) ,  x >.  = 
<. ( g `  y
) ,  y >.  ->  x  =  y )
7372rgen2w 2787 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  U_  j  e.  A  B A. y  e.  U_  j  e.  A  B
( <. ( g `  x ) ,  x >.  =  <. ( g `  y ) ,  y
>.  ->  x  =  y )
7473a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  A. x  e.  U_  j  e.  A  B A. y  e.  U_  j  e.  A  B
( <. ( g `  x ) ,  x >.  =  <. ( g `  y ) ,  y
>.  ->  x  =  y ) )
7569, 74jca 534 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  ( A. x  e.  U_  j  e.  A  B <. ( g `  x ) ,  x >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B A. y  e.  U_  j  e.  A  B ( <. (
g `  x ) ,  x >.  =  <. ( g `  y ) ,  y >.  ->  x  =  y ) ) )
76 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <. (
g `  x ) ,  x >. )  =  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <.
( g `  x
) ,  x >. )
77 fveq2 5878 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
g `  x )  =  ( g `  y ) )
78 id 23 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
7977, 78opeq12d 4192 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  <. (
g `  x ) ,  x >.  =  <. ( g `  y ) ,  y >. )
8076, 79f1mpt 6174 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <.
( g `  x
) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  <->  ( A. x  e.  U_  j  e.  A  B <. ( g `  x ) ,  x >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  /\  A. x  e. 
U_  j  e.  A  B A. y  e.  U_  j  e.  A  B
( <. ( g `  x ) ,  x >.  =  <. ( g `  y ) ,  y
>.  ->  x  =  y ) ) )
8175, 80sylibr 215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  (
x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <.
( g `  x
) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
82 opex 4682 . . . . . . . . . 10  |-  <. (
g `  x ) ,  x >.  e.  _V
8376fvmpt2 5970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  /\  <.
( g `  x
) ,  x >.  e. 
_V )  ->  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x )  = 
<. ( g `  x
) ,  x >. )
8482, 83mpan2 675 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  ->  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x )  = 
<. ( g `  x
) ,  x >. )
8537, 84syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  -> 
( ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. ) `  x )  =  <. ( g `  x ) ,  x >. )
8685fveq2d 5882 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  -> 
( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  ( 2nd `  <. ( g `  x ) ,  x >. )
)
8733, 70op2nd 6813 . . . . . . 7  |-  ( 2nd `  <. ( g `  x ) ,  x >. )  =  x
8886, 87syl6eq 2479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : U_ j  e.  A  B --> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ ( g `  x )  /  j ]_ B ) )  /\  x  e.  U_ j  e.  A  B )  -> 
( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x )
8988ex 435 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  (
x  e.  U_ j  e.  A  B  ->  ( 2nd `  ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <.
( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x ) )
9014, 89ralrimi 2825 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x )
9181, 90jca 534 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x ) )
92 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
k
9392, 3nfel 2597 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j  k  e.  A
9415, 93nfan 1984 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( ph  /\  k  e.  A )
95 nfcv 2584 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j W
9654, 95nfel 2597 . . . . . . . . 9  |-  F/ j
[_ k  /  j ]_ B  e.  W
9794, 96nfim 1976 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  [_ k  /  j ]_ B  e.  W
)
98 eleq1 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
9998anbi2d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  /\  j  e.  A )  <->  ( ph  /\  k  e.  A ) ) )
10058eleq1d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( B  e.  W  <->  [_ k  / 
j ]_ B  e.  W
) )
10199, 100imbi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )  <-> 
( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  [_ k  /  j ]_ B  e.  W
) ) )
10297, 101, 8chvar 2067 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  [_ k  /  j ]_ B  e.  W )
103102ralrimiva 2839 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  [_ k  /  j ]_ B  e.  W )
104 nfcv 2584 . . . . . . . 8  |-  F/_ k B
1053, 51, 104, 54, 58cbviunf 28159 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  A  B  =  U_ k  e.  A  [_ k  /  j ]_ B
106 iunexg 6780 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  [_ k  /  j ]_ B  e.  W )  ->  U_ k  e.  A  [_ k  / 
j ]_ B  e.  _V )
107105, 106syl5eqel 2514 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  [_ k  /  j ]_ B  e.  W )  ->  U_ j  e.  A  B  e.  _V )
1081, 103, 107syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  B  e.  _V )
109 mptexg 6147 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  A  B  e.  _V  ->  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )  e.  _V )
110 f1eq1 5788 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )  ->  ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) ) )
111 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
f
112 nfmpt1 4510 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. )
113111, 112nfeq 2595 . . . . . . . 8  |-  F/ x  f  =  ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )
114 fveq1 5877 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )  ->  ( f `  x )  =  ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )
115114fveq2d 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )  ->  ( 2nd `  ( f `  x
) )  =  ( 2nd `  ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <.
( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) ) )
116115eqeq1d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )  ->  ( ( 2nd `  ( f `  x ) )  =  x  <->  ( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x ) )
117113, 116ralbid 2859 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )  ->  ( A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  x
) )  =  x  <->  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <. (
g `  x ) ,  x >. ) `  x
) )  =  x ) )
118110, 117anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. )  ->  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  x )
)  =  x )  <-> 
( ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x ) ) )
119118spcegv 3167 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <.
( g `  x
) ,  x >. )  e.  _V  ->  (
( ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x )  ->  E. f ( f :
U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  x
) )  =  x ) ) )
120108, 109, 1193syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  U_ j  e.  A  B  |->  <. (
g `  x ) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. ) `  x ) )  =  x )  ->  E. f ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  x )
)  =  x ) ) )
121120adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  (
( ( x  e. 
U_ j  e.  A  B  |->  <. ( g `  x ) ,  x >. ) : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
( x  e.  U_ j  e.  A  B  |-> 
<. ( g `  x
) ,  x >. ) `
 x ) )  =  x )  ->  E. f ( f :
U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  x
) )  =  x ) ) )
12291, 121mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( g : U_ j  e.  A  B
--> A  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B x  e.  [_ (
g `  x )  /  j ]_ B
) )  ->  E. f
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  x
) )  =  x ) )
1239, 122exlimddv 1770 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. x  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  x )
)  =  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868   F/_wnfc 2570    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   [_csb 3395   (/)c0 3761   {csn 3996   <.cop 4002   U_ciun 4296    |-> cmpt 4479    X. cxp 4848   -->wf 5594   -1-1->wf1 5595   ` cfv 5598   2ndc2nd 6803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-reg 8110  ax-inf2 8149  ax-ac2 8894
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-om 6704  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-en 7575  df-r1 8237  df-rank 8238  df-card 8375  df-ac 8548
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