Theorem aciunf1lem 28254

Description: Choice in an index union. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acunirnmpt.0	|- ( ph -> A e. V )
acunirnmpt.1	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B =/= (/) )
aciunf1lem.a	|- F/_ j A
aciunf1lem.1	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
aciunf1lem	|- ( ph -> E. f ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` x ) ) = x ) )

Distinct variable groups:   f, j, x   A, f, x   B, f, x   x, j, ph   j, W

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( j)   B( j)   V( x, f, j)   W( x, f)

Proof of Theorem aciunf1lem

Dummy variables k y g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acunirnmpt.0	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		acunirnmpt.1	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B =/= (/) )
3		aciunf1lem.a	. . 3 |- F/_ j A
4		nfiu1 4326	. . 3 |- F/_ j U_ j e. A B
5		nfcsb1v 3411	. . 3 |- F/_ j [_ ( g ` x ) / j ]_ B
6		eqid 2422	. . 3 |- U_ j e. A B = U_ j e. A B
7		csbeq1a 3404	. . 3 |- ( j = ( g ` x ) -> B = [_ ( g ` x ) / j ]_ B )
8		aciunf1lem.1	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	acunirnmpt2f 28253	. 2 |- ( ph -> E. g ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) )
10		nfv 1751	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
11		nfv 1751	. . . . . . . . 9 |- F/ x g : U_ j e. A B --> A
12		nfra1 2806	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B
13	11, 12	nfan 1984	. . . . . . . 8 |- F/ x ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B )
14	10, 13	nfan 1984	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) )
15		nfv 1751	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ph
16		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j g
17	16, 4, 3	nff 5739	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j g : U_ j e. A B --> A
18		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j x
19	18, 5	nfel 2597	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B
20	4, 19	nfral 2811	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B
21	17, 20	nfan 1984	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B )
22	15, 21	nfan 1984	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) )
23	18, 4	nfel 2597	. . . . . . . . . 10 |- F/ j x e. U_ j e. A B
24	22, 23	nfan 1984	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B )
25		nfcv 2584	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j <. ( g ` x ) , x >.
26		nfiu1 4326	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. B )
27	25, 26	nfel 2597	. . . . . . . . 9 |- F/ j <. ( g ` x ) , x >. e. U_ j e. A ( { j } X. B )
28		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) -> ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) )
29	28	simpld 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) -> g : U_ j e. A B --> A )
30	29	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) /\ j e. A ) /\ x e. B ) -> g : U_ j e. A B --> A )
31		simpllr 767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) /\ j e. A ) /\ x e. B ) -> x e. U_ j e. A B )
32	30, 31	ffvelrnd 6035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) /\ j e. A ) /\ x e. B ) -> ( g ` x ) e. A )
33		fvex 5888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g ` x ) e. _V
34	33	snid 4024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g ` x ) e. { ( g ` x ) }
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) /\ j e. A ) /\ x e. B ) -> ( g ` x ) e. { ( g ` x ) } )
36	28	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) -> A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B )
37		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) -> x e. U_ j e. A B )
38		rsp 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B -> ( x e. U_ j e. A B -> x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) )
39	36, 37, 38	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) -> x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B )
40	39	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) /\ j e. A ) /\ x e. B ) -> x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B )
41	35, 40	jca 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) /\ j e. A ) /\ x e. B ) -> ( ( g ` x ) e. { ( g ` x ) } /\ x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) )
42		opelxp 4880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( g ` x ) , x >. e. ( { ( g ` x ) } X. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) <-> ( ( g ` x ) e. { ( g ` x ) } /\ x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) )
43	41, 42	sylibr 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) /\ j e. A ) /\ x e. B ) -> <. ( g ` x ) , x >. e. ( { ( g ` x ) } X. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) )
44		sneq 4006	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( g ` x ) -> { k } = { ( g ` x ) } )
45		csbeq1 3398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( g ` x ) -> [_ k / j ]_ B = [_ ( g ` x ) / j ]_ B )
46	44, 45	xpeq12d 4875	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( g ` x ) -> ( { k } X. [_ k / j ]_ B ) = ( { ( g ` x ) } X. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) )
47	46	eleq2d 2492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( g ` x ) -> ( <. ( g ` x ) , x >. e. ( { k } X. [_ k / j ]_ B ) <-> <. ( g ` x ) , x >. e. ( { ( g ` x ) } X. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) )
48	47	rspcev 3182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g ` x ) e. A /\ <. ( g ` x ) , x >. e. ( { ( g ` x ) } X. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) -> E. k e. A <. ( g ` x ) , x >. e. ( { k } X. [_ k / j ]_ B ) )
49	32, 43, 48	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) /\ j e. A ) /\ x e. B ) -> E. k e. A <. ( g ` x ) , x >. e. ( { k } X. [_ k / j ]_ B ) )
50		eliun 4301	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. ( g ` x ) , x >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> E. j e. A <. ( g ` x ) , x >. e. ( { j } X. B ) )
51		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k A
52		nfv 1751	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k <. ( g ` x ) , x >. e. ( { j } X. B )
53		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j { k }
54		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j [_ k / j ]_ B
55	53, 54	nfxp 4877	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j ( { k } X. [_ k / j ]_ B )
56	25, 55	nfel 2597	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j <. ( g ` x ) , x >. e. ( { k } X. [_ k / j ]_ B )
57		sneq 4006	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> { j } = { k } )
58		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> B = [_ k / j ]_ B )
59	57, 58	xpeq12d 4875	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = k -> ( { j } X. B ) = ( { k } X. [_ k / j ]_ B ) )
60	59	eleq2d 2492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( <. ( g ` x ) , x >. e. ( { j } X. B ) <-> <. ( g ` x ) , x >. e. ( { k } X. [_ k / j ]_ B ) ) )
61	3, 51, 52, 56, 60	cbvrexf 3050	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. A <. ( g ` x ) , x >. e. ( { j } X. B ) <-> E. k e. A <. ( g ` x ) , x >. e. ( { k } X. [_ k / j ]_ B ) )
62	50, 61	bitri 252	. . . . . . . . . 10 |- ( <. ( g ` x ) , x >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> E. k e. A <. ( g ` x ) , x >. e. ( { k } X. [_ k / j ]_ B ) )
63	49, 62	sylibr 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) /\ j e. A ) /\ x e. B ) -> <. ( g ` x ) , x >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
64		eliun 4301	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ j e. A B <-> E. j e. A x e. B )
65	64	biimpi 197	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ j e. A B -> E. j e. A x e. B )
66	65	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) -> E. j e. A x e. B )
67	24, 27, 63, 66	r19.29af2 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) -> <. ( g ` x ) , x >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
68	67	ex 435	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) -> ( x e. U_ j e. A B -> <. ( g ` x ) , x >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) )
69	14, 68	ralrimi 2825	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) -> A. x e. U_ j e. A B <. ( g ` x ) , x >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
70		vex 3084	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
71	33, 70	opth 4692	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( g ` x ) , x >. = <. ( g ` y ) , y >. <-> ( ( g ` x ) = ( g ` y ) /\ x = y ) )
72	71	simprbi 465	. . . . . . . 8 |- ( <. ( g ` x ) , x >. = <. ( g ` y ) , y >. -> x = y )
73	72	rgen2w 2787	. . . . . . 7 |- A. x e. U_ j e. A B A. y e. U_ j e. A B ( <. ( g ` x ) , x >. = <. ( g ` y ) , y >. -> x = y )
74	73	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) -> A. x e. U_ j e. A B A. y e. U_ j e. A B ( <. ( g ` x ) , x >. = <. ( g ` y ) , y >. -> x = y ) )
75	69, 74	jca 534	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) -> ( A. x e. U_ j e. A B <. ( g ` x ) , x >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. x e. U_ j e. A B A. y e. U_ j e. A B ( <. ( g ` x ) , x >. = <. ( g ` y ) , y >. -> x = y ) ) )
76		eqid 2422	. . . . . 6 |- ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) = ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. )
77		fveq2 5878	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( g ` x ) = ( g ` y ) )
78		id 23	. . . . . . 7 |- ( x = y -> x = y )
79	77, 78	opeq12d 4192	. . . . . 6 |- ( x = y -> <. ( g ` x ) , x >. = <. ( g ` y ) , y >. )
80	76, 79	f1mpt 6174	. . . . 5 |- ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> ( A. x e. U_ j e. A B <. ( g ` x ) , x >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. x e. U_ j e. A B A. y e. U_ j e. A B ( <. ( g ` x ) , x >. = <. ( g ` y ) , y >. -> x = y ) ) )
81	75, 80	sylibr 215	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) -> ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) )
82		opex 4682	. . . . . . . . . 10 |- <. ( g ` x ) , x >. e. _V
83	76	fvmpt2 5970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U_ j e. A B /\ <. ( g ` x ) , x >. e. _V ) -> ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) = <. ( g ` x ) , x >. )
84	82, 83	mpan2 675	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ j e. A B -> ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) = <. ( g ` x ) , x >. )
85	37, 84	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) -> ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) = <. ( g ` x ) , x >. )
86	85	fveq2d 5882	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) -> ( 2nd ` ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) ) = ( 2nd ` <. ( g ` x ) , x >. ) )
87	33, 70	op2nd 6813	. . . . . . 7 |- ( 2nd ` <. ( g ` x ) , x >. ) = x
88	86, 87	syl6eq 2479	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) /\ x e. U_ j e. A B ) -> ( 2nd ` ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) ) = x )
89	88	ex 435	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) -> ( x e. U_ j e. A B -> ( 2nd ` ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) ) = x ) )
90	14, 89	ralrimi 2825	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) -> A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) ) = x )
91	81, 90	jca 534	. . 3 |- ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) -> ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) ) = x ) )
92		nfcv 2584	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j k
93	92, 3	nfel 2597	. . . . . . . . . 10 |- F/ j k e. A
94	15, 93	nfan 1984	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( ph /\ k e. A )
95		nfcv 2584	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j W
96	54, 95	nfel 2597	. . . . . . . . 9 |- F/ j [_ k / j ]_ B e. W
97	94, 96	nfim 1976	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ( ph /\ k e. A ) -> [_ k / j ]_ B e. W )
98		eleq1 2494	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
99	98	anbi2d 708	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( ( ph /\ j e. A ) <-> ( ph /\ k e. A ) ) )
100	58	eleq1d 2491	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( B e. W <-> [_ k / j ]_ B e. W ) )
101	99, 100	imbi12d 321	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W ) <-> ( ( ph /\ k e. A ) -> [_ k / j ]_ B e. W ) ) )
102	97, 101, 8	chvar 2067	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> [_ k / j ]_ B e. W )
103	102	ralrimiva 2839	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. A [_ k / j ]_ B e. W )
104		nfcv 2584	. . . . . . . 8 |- F/_ k B
105	3, 51, 104, 54, 58	cbviunf 28159	. . . . . . 7 |- U_ j e. A B = U_ k e. A [_ k / j ]_ B
106		iunexg 6780	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A [_ k / j ]_ B e. W ) -> U_ k e. A [_ k / j ]_ B e. _V )
107	105, 106	syl5eqel 2514	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A [_ k / j ]_ B e. W ) -> U_ j e. A B e. _V )
108	1, 103, 107	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ph -> U_ j e. A B e. _V )
109		mptexg 6147	. . . . 5 |- ( U_ j e. A B e. _V -> ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) e. _V )
110		f1eq1 5788	. . . . . . 7 |- ( f = ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) -> ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) ) )
111		nfcv 2584	. . . . . . . . 9 |- F/_ x f
112		nfmpt1 4510	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. )
113	111, 112	nfeq 2595	. . . . . . . 8 |- F/ x f = ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. )
114		fveq1 5877	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) -> ( f ` x ) = ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) )
115	114	fveq2d 5882	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) -> ( 2nd ` ( f ` x ) ) = ( 2nd ` ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) ) )
116	115	eqeq1d 2424	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) -> ( ( 2nd ` ( f ` x ) ) = x <-> ( 2nd ` ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) ) = x ) )
117	113, 116	ralbid 2859	. . . . . . 7 |- ( f = ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) -> ( A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` x ) ) = x <-> A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) ) = x ) )
118	110, 117	anbi12d 715	. . . . . 6 |- ( f = ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) -> ( ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` x ) ) = x ) <-> ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) ) = x ) ) )
119	118	spcegv 3167	. . . . 5 |- ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) e. _V -> ( ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) ) = x ) -> E. f ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` x ) ) = x ) ) )
120	108, 109, 119	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) ) = x ) -> E. f ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` x ) ) = x ) ) )
121	120	adantr 466	. . 3 |- ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) -> ( ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( ( x e. U_ j e. A B |-> <. ( g ` x ) , x >. ) ` x ) ) = x ) -> E. f ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` x ) ) = x ) ) )
122	91, 121	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ ( g : U_ j e. A B --> A /\ A. x e. U_ j e. A B x e. [_ ( g ` x ) / j ]_ B ) ) -> E. f ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` x ) ) = x ) )
123	9, 122	exlimddv 1770	1 |- ( ph -> E. f ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. x e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` x ) ) = x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   F/_wnfc 2570   =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   [_csb 3395   (/)c0 3761   {csn 3996   <.cop 4002   U_ciun 4296   |-> cmpt 4479   X. cxp 4848   -->wf 5594   -1-1->wf1 5595   ` cfv 5598   2ndc2nd 6803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-reg 8110  ax-inf2 8149  ax-ac2 8894

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-om 6704  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-en 7575  df-r1 8237  df-rank 8238  df-card 8375  df-ac 8548

This theorem is referenced by:  aciunf1  28255