Theorem aceqkm 4843

Description: Equivalence of the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 and Maes' AC ackm 4844. The proof consists of lemmas kmlem1 4827 through kmlem16 4842 and this final theorem. AC is not used for the proof. Note: bypassing the first step (i.e. replacing aceq5 4802 with pm4.2 177) establishes the AC equivalence shown by Mae's writeup. The left-hand-side AC shown here was chosen because it is shorter to display.

Assertion

Ref	Expression
aceqkm	|- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))

Distinct variable group:   x,y,z,v,u,f

Proof of Theorem aceqkm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq5 4802	. 2 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)))
2		eqid 1522	. . . 4 |- {t | E.h e. x t = (h \ U.(x \ {h}))} = {t | E.h e. x t = (h \ U.(x \ {h}))}
3	2	kmlem13 4839	. . 3 |- (A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)) <-> A.x(-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!v v e. (z i^i y))))
4		kmlem8 4834	. . . 4 |- ((-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!v v e. (z i^i y))) <-> (E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
5	4	albii 1040	. . 3 |- (A.x(-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!v v e. (z i^i y))) <-> A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
6	3, 5	bitri 180	. 2 |- (A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)) <-> A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
7		df-ne 1634	. . . . . . . 8 |- (y =/= v <-> -. y = v)
8	7	bicomi 179	. . . . . . 7 |- (-. y = v <-> y =/= v)
9	8	anbi2i 491	. . . . . 6 |- ((v e. x /\ -. y = v) <-> (v e. x /\ y =/= v))
10	9	anbi1i 492	. . . . 5 |- (((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v) <-> ((v e. x /\ y =/= v) /\ z e. v))
11	10	imbi2i 192	. . . 4 |- ((z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v)) <-> (z e. y -> ((v e. x /\ y =/= v) /\ z e. v)))
12		pm4.2 177	. . . 4 |- ((z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))) <-> (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))
13		pm4.2 177	. . . 4 |- (A.z e. x E!v v e. (z i^i y) <-> A.z e. x E!v v e. (z i^i y))
14	11, 12, 13	kmlem16 4842	. . 3 |- ((E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))) <-> E.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))
15	14	albii 1040	. 2 |- (A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))
16	1, 6, 15	3bitri 184	1 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 153   \/ wo 229   /\ wa 230  A.wal 995   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021  E!weu 1422  {cab 1509   =/= wne 1632  A.wral 1692  E.wrex 1693   \ cdif 2095   i^i cin 2097   (_ wss 2098  (/)c0 2331  {csn 2461  U.cuni 2557  dom cdm 3227   Fn wfn 3234

This theorem is referenced by:  ackm 4844

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-rab 1699  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-id 2891  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255

Copyright terms: Public domain