Theorem aceqkm 5943

Description: Equivalence of the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 and Maes' AC ackm 5944. The proof consists of lemmas kmlem1 5927 through kmlem16 5942 and this final theorem. AC is not used for the proof. Note: bypassing the first step (i.e. replacing aceq5 5902 with biid 187) establishes the AC equivalence shown by Mae's writeup. The left-hand-side AC shown here was chosen because it is shorter to display.

Assertion

Ref	Expression
aceqkm	|- (A.xE.f(f C_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))

Distinct variable group:   x,y,z,v,u,f

Proof of Theorem aceqkm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq5 5902	. 2 |- (A.xE.f(f C_ x /\ f Fn dom x) <-> A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)))
2		eqid 1884	. . . 4 |- {t | E.h e. x t = (h \ U.(x \ {h}))} = {t | E.h e. x t = (h \ U.(x \ {h}))}
3	2	kmlem13 5939	. . 3 |- (A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)) <-> A.x(-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!v v e. (z i^i y))))
4		kmlem8 5934	. . . 4 |- ((-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!v v e. (z i^i y))) <-> (E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
5	4	albii 1346	. . 3 |- (A.x(-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!v v e. (z i^i y))) <-> A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
6	3, 5	bitri 190	. 2 |- (A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)) <-> A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
7		df-ne 2019	. . . . . . . 8 |- (y =/= v <-> -. y = v)
8	7	bicomi 189	. . . . . . 7 |- (-. y = v <-> y =/= v)
9	8	anbi2i 538	. . . . . 6 |- ((v e. x /\ -. y = v) <-> (v e. x /\ y =/= v))
10	9	anbi1i 539	. . . . 5 |- (((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v) <-> ((v e. x /\ y =/= v) /\ z e. v))
11	10	imbi2i 202	. . . 4 |- ((z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v)) <-> (z e. y -> ((v e. x /\ y =/= v) /\ z e. v)))
12		biid 187	. . . 4 |- ((z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))) <-> (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))
13		biid 187	. . . 4 |- (A.z e. x E!v v e. (z i^i y) <-> A.z e. x E!v v e. (z i^i y))
14	11, 12, 13	kmlem16 5942	. . 3 |- ((E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))) <-> E.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))
15	14	albii 1346	. 2 |- (A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))
16	1, 6, 15	3bitri 194	1 |- (A.xE.f(f C_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E!weu 1771  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   \ cdif 2590   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177  dom cdm 3986   Fn wfn 3993

This theorem is referenced by:  ackm 5944

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain