Theorem aceq7 5905

Description: Equivalence of the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 and our Axiom of Choice (in the form of ac2 5908). The proof does not depend AC on but does depend on the Axiom of Regularity.

Assertion

Ref	Expression
aceq7	|- (A.xE.f(f C_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u))

Distinct variable group:   x,z,f,y,w,v,u

Proof of Theorem aceq7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq6b 5904	. . 3 |- (A.xE.f(f C_ x /\ f Fn dom x) -> A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
2		aceq6a 5903	. . 3 |- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f C_ x /\ f Fn dom x))
3	1, 2	impbii 174	. 2 |- (A.xE.f(f C_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
4		aceq2 5893	. . 3 |- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
5	4	albii 1346	. 2 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
6	3, 5	bitr4i 193	1 |- (A.xE.f(f C_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107   C_ wss 2593  (/)c0 2875  dom cdm 3986   Fn wfn 3993

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-eprel 3583  df-id 3586  df-fr 3625  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain