Theorem aceq5lem5 5901

Description: Lemma for aceq5 5902.

Hypotheses

Ref	Expression
aceq5lem.1	|- A = {u | (u =/= (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))}
aceq5lem.2	|- B = (U.A i^i y)
aceq5lem.3	|- (ph <-> A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)))

Assertion

Ref	Expression
aceq5lem5	|- (ph -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))

Distinct variable groups:   x,f,z,y,w,v,u,t,h   z,B,w,f   x,A,y,z,w

Proof of Theorem aceq5lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq5lem.1	. . 3 |- A = {u | (u =/= (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))}
2		aceq5lem.2	. . 3 |- B = (U.A i^i y)
3		aceq5lem.3	. . 3 |- (ph <-> A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)))
4	1, 2, 3	aceq5lem4 5900	. 2 |- (ph -> E.yA.z e. A E!v v e. (z i^i y))
5		simpr 350	. . . . . . . . . . 11 |- ((w =/= (/) /\ w e. h) -> w e. h)
6	5	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> w e. h))
7		ineq1 2789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = ({w} X. w) -> (z i^i y) = (({w} X. w) i^i y))
8	7	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = ({w} X. w) -> (v e. (z i^i y) <-> v e. (({w} X. w) i^i y)))
9	8	eubidv 1779	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = ({w} X. w) -> (E!v v e. (z i^i y) <-> E!v v e. (({w} X. w) i^i y)))
10	9	rcla4cv 2377	. . . . . . . . . . 11 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> (({w} X. w) e. A -> E!v v e. (({w} X. w) i^i y)))
11	1	aceq5lem3 5899	. . . . . . . . . . 11 |- (({w} X. w) e. A <-> (w =/= (/) /\ w e. h))
12		aceq5lem1 5897	. . . . . . . . . . 11 |- (E!v v e. (({w} X. w) i^i y) <-> E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y))
13	10, 11, 12	3imtr3g 611	. . . . . . . . . 10 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
14	6, 13	jcad 661	. . . . . . . . 9 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> (w e. h /\ E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y))))
15	2	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, g>. e. B <-> <.w, g>. e. (U.A i^i y))
16		elin 2786	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, g>. e. (U.A i^i y) <-> (<.w, g>. e. U.A /\ <.w, g>. e. y))
17	1	aceq5lem2 5898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.w, g>. e. U.A <-> (w e. h /\ g e. w))
18	17	anbi1i 539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.w, g>. e. U.A /\ <.w, g>. e. y) <-> ((w e. h /\ g e. w) /\ <.w, g>. e. y))
19		anass 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((w e. h /\ g e. w) /\ <.w, g>. e. y) <-> (w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
20	18, 19	bitri 190	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<.w, g>. e. U.A /\ <.w, g>. e. y) <-> (w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
21	15, 16, 20	3bitri 194	. . . . . . . . . . 11 |- (<.w, g>. e. B <-> (w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
22	21	eubii 1780	. . . . . . . . . 10 |- (E!g<.w, g>. e. B <-> E!g(w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
23		euanv 1832	. . . . . . . . . 10 |- (E!g(w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)) <-> (w e. h /\ E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
24	22, 23	bitr2i 191	. . . . . . . . 9 |- ((w e. h /\ E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y)) <-> E!g<.w, g>. e. B)
25	14, 24	syl6ib 229	. . . . . . . 8 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> E!g<.w, g>. e. B))
26		euex 1788	. . . . . . . . 9 |- (E!g<.w, g>. e. B -> E.g<.w, g>. e. B)
27		hbeu1 1781	. . . . . . . . . . 11 |- (E!g<.w, g>. e. B -> A.gE!g<.w, g>. e. B)
28		ax-17 1317	. . . . . . . . . . 11 |- ((B` w) e. w -> A.g(B` w) e. w)
29	27, 28	hbim 1354	. . . . . . . . . 10 |- ((E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w) -> A.g(E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w))
30	21	simprbi 353	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, g>. e. B -> (g e. w /\ <.w, g>. e. y))
31	30	simplld 348	. . . . . . . . . . 11 |- (<.w, g>. e. B -> g e. w)
32		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. _V
33	32	tz6.12 4694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((<.w, g>. e. B /\ E!g<.w, g>. e. B) -> (B` w) = g)
34	33	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.w, g>. e. B /\ E!g<.w, g>. e. B) -> ((B` w) e. w <-> g e. w))
35	34	biimparc 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ((g e. w /\ (<.w, g>. e. B /\ E!g<.w, g>. e. B)) -> (B` w) e. w)
36	35	exp32 408	. . . . . . . . . . 11 |- (g e. w -> (<.w, g>. e. B -> (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w)))
37	31, 36	mpcom 60	. . . . . . . . . 10 |- (<.w, g>. e. B -> (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w))
38	29, 37	19.23ai 1412	. . . . . . . . 9 |- (E.g<.w, g>. e. B -> (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w))
39	26, 38	mpcom 60	. . . . . . . 8 |- (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w)
40	25, 39	syl6 25	. . . . . . 7 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> (B` w) e. w))
41	40	exp3a 405	. . . . . 6 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> (w =/= (/) -> (w e. h -> (B` w) e. w)))
42	41	com23 36	. . . . 5 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> (w e. h -> (w =/= (/) -> (B` w) e. w)))
43	42	r19.21aiv 2175	. . . 4 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> A.w e. h (w =/= (/) -> (B` w) e. w))
44		visset 2295	. . . . . . 7 |- y e. _V
45	44	inex2 3453	. . . . . 6 |- (U.A i^i y) e. _V
46	2, 45	eqeltri 1967	. . . . 5 |- B e. _V
47		fveq1 4680	. . . . . . . 8 |- (f = B -> (f` w) = (B` w))
48	47	eleq1d 1963	. . . . . . 7 |- (f = B -> ((f` w) e. w <-> (B` w) e. w))
49	48	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (f = B -> ((w =/= (/) -> (f` w) e. w) <-> (w =/= (/) -> (B` w) e. w)))
50	49	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (f = B -> (A.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w) <-> A.w e. h (w =/= (/) -> (B` w) e. w)))
51	46, 50	cla4ev 2371	. . . 4 |- (A.w e. h (w =/= (/) -> (B` w) e. w) -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))
52	43, 51	syl 12	. . 3 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))
53	52	19.23aiv 1674	. 2 |- (E.yA.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))
54	4, 53	syl 12	1 |- (ph -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E!weu 1771  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592  (/)c0 2875  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177   X. cxp 3984  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  aceq5 5902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain