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Theorem aceq2 8413
Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
aceq2  |-  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem aceq2
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2737 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. t ( t  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
2 19.23v 1768 . . . . 5  |-  ( A. t ( t  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )  <->  ( E. t  t  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
31, 2bitri 249 . . . 4  |-  ( A. t  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  ( E. t  t  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
4 biidd 237 . . . . 5  |-  ( w  =  t  ->  ( E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
54cbvralv 3009 . . . 4  |-  ( A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. t  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
)
6 n0 3721 . . . . 5  |-  ( z  =/=  (/)  <->  E. t  t  e.  z )
7 eleq2 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  u  ->  (
z  e.  v  <->  z  e.  u ) )
8 eleq2 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  u  ->  (
w  e.  v  <->  w  e.  u ) )
97, 8anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  u  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  u  /\  w  e.  u ) ) )
109cbvrexv 3010 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  w  e.  u )
)
1110reubii 2969 . . . . . 6  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E! w  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  w  e.  u )
)
12 eleq1 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  v  ->  (
w  e.  u  <->  v  e.  u ) )
1312anbi2d 701 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  v  ->  (
( z  e.  u  /\  w  e.  u
)  <->  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
1413rexbidv 2893 . . . . . . 7  |-  ( w  =  v  ->  ( E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  w  e.  u
)  <->  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
1514cbvreuv 3011 . . . . . 6  |-  ( E! w  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  w  e.  u )  <->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
)
1611, 15bitri 249 . . . . 5  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
)
176, 16imbi12i 324 . . . 4  |-  ( ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( E. t 
t  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
183, 5, 173bitr4i 277 . . 3  |-  ( A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
1918ralbii 2813 . 2  |-  ( A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
2019exbii 1675 1  |-  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1397   E.wex 1620    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   E!wreu 2734   (/)c0 3711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-v 3036  df-dif 3392  df-nul 3712
This theorem is referenced by:  dfac7  8425  ac3  8755
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