Theorem aceq1 8374

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice ax-ac 8715. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. The right-hand side expresses our AC with the fewest number of different variables. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
aceq1	|- ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem aceq1

Dummy variables t h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biidd 237	. . . . . . 7 |- ( w = t -> ( E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) ) )
2	1	cbvralv 3029	. . . . . 6 |- ( A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> A. t e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) )
3		eleq1 2520	. . . . . . . . . 10 |- ( v = z -> ( v e. u <-> z e. u ) )
4	3	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( v = z -> ( ( h e. u /\ v e. u ) <-> ( h e. u /\ z e. u ) ) )
5	4	rexbidv 2816	. . . . . . . 8 |- ( v = z -> ( E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) )
6	5	cbvreuv 3031	. . . . . . 7 |- ( E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) )
7	6	ralbii 2819	. . . . . 6 |- ( A. t e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) )
8	2, 7	bitri 249	. . . . 5 |- ( A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) )
9	8	ralbii 2819	. . . 4 |- ( A. h e. x A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> A. h e. x A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) )
10		eleq1 2520	. . . . . . . . 9 |- ( z = h -> ( z e. u <-> h e. u ) )
11	10	anbi1d 704	. . . . . . . 8 |- ( z = h -> ( ( z e. u /\ v e. u ) <-> ( h e. u /\ v e. u ) ) )
12	11	rexbidv 2816	. . . . . . 7 |- ( z = h -> ( E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) ) )
13	12	reueqd 3009	. . . . . 6 |- ( z = h -> ( E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) ) )
14	13	raleqbi1dv 3007	. . . . 5 |- ( z = h -> ( A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) ) )
15	14	cbvralv 3029	. . . 4 |- ( A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. h e. x A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) )
16		eleq1 2520	. . . . . . . . 9 |- ( w = h -> ( w e. u <-> h e. u ) )
17	16	anbi1d 704	. . . . . . . 8 |- ( w = h -> ( ( w e. u /\ z e. u ) <-> ( h e. u /\ z e. u ) ) )
18	17	rexbidv 2816	. . . . . . 7 |- ( w = h -> ( E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) )
19	18	reueqd 3009	. . . . . 6 |- ( w = h -> ( E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) )
20	19	raleqbi1dv 3007	. . . . 5 |- ( w = h -> ( A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) )
21	20	cbvralv 3029	. . . 4 |- ( A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. h e. x A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) )
22	9, 15, 21	3bitr4i 277	. . 3 |- ( A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) )
23	22	exbii 1635	. 2 |- ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) )
24		19.21v 1910	. . . . . 6 |- ( A. z ( w e. x -> ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) <-> ( w e. x -> A. z ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) )
25		impexp 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( z e. w -> ( w e. x -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) )
26		bi2.04 361	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. w -> ( w e. x -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) <-> ( w e. x -> ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) )
27	25, 26	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( w e. x -> ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) )
28	27	albii 1611	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. z ( w e. x -> ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) )
29		df-eu 2263	. . . . . . . . . . 11 |- ( E! z ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> E. x A. z ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> z = x ) )
30		df-reu 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E! z ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) )
31		19.42v 1925	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. x ( z e. w /\ ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) <-> ( z e. w /\ E. x ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) )
32		an42 821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( z e. w /\ x e. y ) /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) <-> ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) )
33		anass 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( z e. w /\ x e. y ) /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) <-> ( z e. w /\ ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) )
34	32, 33	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> ( z e. w /\ ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) )
35	34	exbii 1635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> E. x ( z e. w /\ ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) )
36		df-rex 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. u ( u e. y /\ ( w e. u /\ z e. u ) ) )
37		eleq1 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u = x -> ( u e. y <-> x e. y ) )
38		eleq2 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u = x -> ( w e. u <-> w e. x ) )
39		eleq2 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u = x -> ( z e. u <-> z e. x ) )
40	38, 39	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u = x -> ( ( w e. u /\ z e. u ) <-> ( w e. x /\ z e. x ) ) )
41	37, 40	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = x -> ( ( u e. y /\ ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) )
42	41	cbvexv 1973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. u ( u e. y /\ ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> E. x ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) )
43	36, 42	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. x ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) )
44	43	anbi2i 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> ( z e. w /\ E. x ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) )
45	31, 35, 44	3bitr4i 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) )
46	45	bibi1i 314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) <-> ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> z = x ) )
47	46	albii 1611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) <-> A. z ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> z = x ) )
48	47	exbii 1635	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) <-> E. x A. z ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> z = x ) )
49	29, 30, 48	3bitr4i 277	. . . . . . . . . 10 |- ( E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
50	49	imbi2i 312	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. w -> E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
51	50	albii 1611	. . . . . . . 8 |- ( A. t ( t e. w -> E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> A. t ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
52		df-ral 2797	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. t ( t e. w -> E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) )
53		nfv 1674	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
54		nfv 1674	. . . . . . . . . 10 |- F/ z t e. w
55		nfa1 1832	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x )
56	55	nfex 1875	. . . . . . . . . 10 |- F/ z E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x )
57	54, 56	nfim 1854	. . . . . . . . 9 |- F/ z ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
58		eleq1 2520	. . . . . . . . . 10 |- ( z = t -> ( z e. w <-> t e. w ) )
59	58	imbi1d 317	. . . . . . . . 9 |- ( z = t -> ( ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) )
60	53, 57, 59	cbval 1970	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. t ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
61	51, 52, 60	3bitr4i 277	. . . . . . 7 |- ( A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. z ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
62	61	imbi2i 312	. . . . . 6 |- ( ( w e. x -> A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> ( w e. x -> A. z ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) )
63	24, 28, 62	3bitr4i 277	. . . . 5 |- ( A. z ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( w e. x -> A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) )
64	63	albii 1611	. . . 4 |- ( A. w A. z ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. w ( w e. x -> A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) )
65		alcom 1784	. . . 4 |- ( A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. w A. z ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
66		df-ral 2797	. . . 4 |- ( A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. w ( w e. x -> A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) )
67	64, 65, 66	3bitr4ri 278	. . 3 |- ( A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
68	67	exbii 1635	. 2 |- ( E. y A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
69	23, 68	bitri 249	1 |- ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587   E!weu 2259   A.wral 2792   E.wrex 2793   E!wreu 2794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799

This theorem is referenced by:  aceq0  8375  dfac1  8390