Theorem aceq1 8515

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice ax-ac 8856. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. The right-hand side expresses our AC with the fewest number of different variables. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
aceq1	|- ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem aceq1

Dummy variables t h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biidd 237	. . . . . . 7 |- ( w = t -> ( E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) ) )
2	1	cbvralv 3084	. . . . . 6 |- ( A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> A. t e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) )
3		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( v = z -> ( v e. u <-> z e. u ) )
4	3	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( v = z -> ( ( h e. u /\ v e. u ) <-> ( h e. u /\ z e. u ) ) )
5	4	rexbidv 2968	. . . . . . . 8 |- ( v = z -> ( E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) )
6	5	cbvreuv 3086	. . . . . . 7 |- ( E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) )
7	6	ralbii 2888	. . . . . 6 |- ( A. t e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) )
8	2, 7	bitri 249	. . . . 5 |- ( A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) )
9	8	ralbii 2888	. . . 4 |- ( A. h e. x A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> A. h e. x A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) )
10		eleq1 2529	. . . . . . . . 9 |- ( z = h -> ( z e. u <-> h e. u ) )
11	10	anbi1d 704	. . . . . . . 8 |- ( z = h -> ( ( z e. u /\ v e. u ) <-> ( h e. u /\ v e. u ) ) )
12	11	rexbidv 2968	. . . . . . 7 |- ( z = h -> ( E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) ) )
13	12	reueqd 3064	. . . . . 6 |- ( z = h -> ( E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) ) )
14	13	raleqbi1dv 3062	. . . . 5 |- ( z = h -> ( A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) ) )
15	14	cbvralv 3084	. . . 4 |- ( A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. h e. x A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) )
16		eleq1 2529	. . . . . . . . 9 |- ( w = h -> ( w e. u <-> h e. u ) )
17	16	anbi1d 704	. . . . . . . 8 |- ( w = h -> ( ( w e. u /\ z e. u ) <-> ( h e. u /\ z e. u ) ) )
18	17	rexbidv 2968	. . . . . . 7 |- ( w = h -> ( E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) )
19	18	reueqd 3064	. . . . . 6 |- ( w = h -> ( E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) )
20	19	raleqbi1dv 3062	. . . . 5 |- ( w = h -> ( A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) )
21	20	cbvralv 3084	. . . 4 |- ( A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. h e. x A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) )
22	9, 15, 21	3bitr4i 277	. . 3 |- ( A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) )
23	22	exbii 1668	. 2 |- ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) )
24		19.21v 1730	. . . . . 6 |- ( A. z ( w e. x -> ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) <-> ( w e. x -> A. z ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) )
25		impexp 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( z e. w -> ( w e. x -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) )
26		bi2.04 361	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. w -> ( w e. x -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) <-> ( w e. x -> ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) )
27	25, 26	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( w e. x -> ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) )
28	27	albii 1641	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. z ( w e. x -> ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) )
29		df-eu 2287	. . . . . . . . . . 11 |- ( E! z ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> E. x A. z ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> z = x ) )
30		df-reu 2814	. . . . . . . . . . 11 |- ( E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E! z ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) )
31		19.42v 1776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. x ( z e. w /\ ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) <-> ( z e. w /\ E. x ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) )
32		an42 825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( z e. w /\ x e. y ) /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) <-> ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) )
33		anass 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( z e. w /\ x e. y ) /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) <-> ( z e. w /\ ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) )
34	32, 33	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> ( z e. w /\ ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) )
35	34	exbii 1668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> E. x ( z e. w /\ ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) )
36		df-rex 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. u ( u e. y /\ ( w e. u /\ z e. u ) ) )
37		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u = x -> ( u e. y <-> x e. y ) )
38		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u = x -> ( w e. u <-> w e. x ) )
39		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u = x -> ( z e. u <-> z e. x ) )
40	38, 39	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u = x -> ( ( w e. u /\ z e. u ) <-> ( w e. x /\ z e. x ) ) )
41	37, 40	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = x -> ( ( u e. y /\ ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) )
42	41	cbvexv 2025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. u ( u e. y /\ ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> E. x ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) )
43	36, 42	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. x ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) )
44	43	anbi2i 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> ( z e. w /\ E. x ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) )
45	31, 35, 44	3bitr4i 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) )
46	45	bibi1i 314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) <-> ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> z = x ) )
47	46	albii 1641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) <-> A. z ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> z = x ) )
48	47	exbii 1668	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) <-> E. x A. z ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> z = x ) )
49	29, 30, 48	3bitr4i 277	. . . . . . . . . 10 |- ( E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
50	49	imbi2i 312	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. w -> E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
51	50	albii 1641	. . . . . . . 8 |- ( A. t ( t e. w -> E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> A. t ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
52		df-ral 2812	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. t ( t e. w -> E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) )
53		nfv 1708	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
54		nfv 1708	. . . . . . . . . 10 |- F/ z t e. w
55		nfa1 1898	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x )
56	55	nfex 1949	. . . . . . . . . 10 |- F/ z E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x )
57	54, 56	nfim 1921	. . . . . . . . 9 |- F/ z ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
58		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( z = t -> ( z e. w <-> t e. w ) )
59	58	imbi1d 317	. . . . . . . . 9 |- ( z = t -> ( ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) )
60	53, 57, 59	cbval 2022	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. t ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
61	51, 52, 60	3bitr4i 277	. . . . . . 7 |- ( A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. z ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
62	61	imbi2i 312	. . . . . 6 |- ( ( w e. x -> A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> ( w e. x -> A. z ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) )
63	24, 28, 62	3bitr4i 277	. . . . 5 |- ( A. z ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( w e. x -> A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) )
64	63	albii 1641	. . . 4 |- ( A. w A. z ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. w ( w e. x -> A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) )
65		alcom 1846	. . . 4 |- ( A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. w A. z ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
66		df-ral 2812	. . . 4 |- ( A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. w ( w e. x -> A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) )
67	64, 65, 66	3bitr4ri 278	. . 3 |- ( A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
68	67	exbii 1668	. 2 |- ( E. y A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
69	23, 68	bitri 249	1 |- ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1393   E.wex 1613   E!weu 2283   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814

This theorem is referenced by:  aceq0  8516  dfac1  8531