Theorem aceq0 4792

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. The right-hand side is our original ax-ac 4806.

Assertion

Ref	Expression
aceq0	|- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)))

Distinct variable group:   x,y,z,w,v,u,t

Proof of Theorem aceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq1 4791	. 2 |- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
2		equequ2 1177	. . . . . . . . . 10 |- (v = x -> (u = v <-> u = x))
3	2	bibi2d 629	. . . . . . . . 9 |- (v = x -> ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> (E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = x)))
4		elequ2 1179	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (w e. t <-> w e. x))
5	4	anbi2d 627	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = x -> ((u e. w /\ w e. t) <-> (u e. w /\ w e. x)))
6		elequ2 1179	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (u e. t <-> u e. x))
7		elequ1 1178	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (t e. y <-> x e. y))
8	6, 7	anbi12d 639	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = x -> ((u e. t /\ t e. y) <-> (u e. x /\ x e. y)))
9	5, 8	anbi12d 639	. . . . . . . . . . 11 |- (t = x -> (((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> ((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y))))
10	9	cbvexv 1357	. . . . . . . . . 10 |- (E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)))
11	10	bibi1i 620	. . . . . . . . 9 |- ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = x) <-> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x))
12	3, 11	syl6bb 547	. . . . . . . 8 |- (v = x -> ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x)))
13	12	albidv 1320	. . . . . . 7 |- (v = x -> (A.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> A.u(E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x)))
14		elequ1 1178	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = z -> (u e. w <-> z e. w))
15	14	anbi1d 628	. . . . . . . . . . 11 |- (u = z -> ((u e. w /\ w e. x) <-> (z e. w /\ w e. x)))
16		elequ1 1178	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = z -> (u e. x <-> z e. x))
17	16	anbi1d 628	. . . . . . . . . . 11 |- (u = z -> ((u e. x /\ x e. y) <-> (z e. x /\ x e. y)))
18	15, 17	anbi12d 639	. . . . . . . . . 10 |- (u = z -> (((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> ((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y))))
19	18	exbidv 1321	. . . . . . . . 9 |- (u = z -> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y))))
20		equequ1 1176	. . . . . . . . 9 |- (u = z -> (u = x <-> z = x))
21	19, 20	bibi12d 640	. . . . . . . 8 |- (u = z -> ((E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x) <-> (E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
22	21	cbvalv 1356	. . . . . . 7 |- (A.u(E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x) <-> A.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
23	13, 22	syl6bb 547	. . . . . 6 |- (v = x -> (A.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> A.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
24	23	cbvexv 1357	. . . . 5 |- (E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
25	24	imbi2i 192	. . . 4 |- (((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> ((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
26	25	2albii 1041	. . 3 |- (A.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> A.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
27	26	exbii 1092	. 2 |- (E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
28	1, 27	bitr4i 183	1 |- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230  A.wal 995   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021  A.wral 1692  E.wrex 1693  E!wreu 1694

This theorem is referenced by:  ac2 4808

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-11o 1260  ax-ext 1504

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698

Copyright terms: Public domain