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Theorem aceq0 8392
Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. The right-hand side is our original ax-ac 8732. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
aceq0  |-  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, u, t

Proof of Theorem aceq0
StepHypRef Expression
1 aceq1 8391 . 2  |-  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. x A. z ( E. x
( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
2 equequ2 1739 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  x  ->  (
u  =  v  <->  u  =  x ) )
32bibi2d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t
)  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  v )  <->  ( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  x
) ) )
4 elequ2 1763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  (
w  e.  t  <->  w  e.  x ) )
54anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  (
( u  e.  w  /\  w  e.  t
)  <->  ( u  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
6 elequ2 1763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  (
u  e.  t  <->  u  e.  x ) )
7 elequ1 1761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  (
t  e.  y  <->  x  e.  y ) )
86, 7anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  (
( u  e.  t  /\  t  e.  y )  <->  ( u  e.  x  /\  x  e.  y ) ) )
95, 8anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
) ) )
109cbvexv 1981 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  ( u  e.  x  /\  x  e.  y
) ) )
1110bibi1i 314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  x )  <->  ( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  u  =  x
) )
123, 11syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  x  ->  (
( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t
)  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  v )  <->  ( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  u  =  x
) ) )
1312albidv 1680 . . . . . . 7  |-  ( v  =  x  ->  ( A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
)  <->  A. u ( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  u  =  x
) ) )
14 elequ1 1761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
u  e.  w  <->  z  e.  w ) )
1514anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  e.  w  /\  w  e.  x
)  <->  ( z  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
16 elequ1 1761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
u  e.  x  <->  z  e.  x ) )
1716anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  e.  x  /\  x  e.  y
)  <->  ( z  e.  x  /\  x  e.  y ) ) )
1815, 17anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  (
( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
) ) )
1918exbidv 1681 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  ( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  ( z  e.  x  /\  x  e.  y
) ) ) )
20 equequ1 1738 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  x  <->  z  =  x ) )
2119, 20bibi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  z  ->  (
( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x
)  /\  ( u  e.  x  /\  x  e.  y ) )  <->  u  =  x )  <->  ( E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
2221cbvalv 1980 . . . . . . 7  |-  ( A. u ( E. x
( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  u  =  x
)  <->  A. z ( E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) )
2313, 22syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( v  =  x  ->  ( A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
)  <->  A. z ( E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
2423cbvexv 1981 . . . . 5  |-  ( E. v A. u ( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  v )  <->  E. x A. z ( E. x
( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) )
2524imbi2i 312 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) )  <->  ( (
z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. x A. z
( E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  x  e.  y ) )  <->  z  =  x ) ) )
26252albii 1612 . . 3  |-  ( A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. v A. u
( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t
)  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  v ) )  <->  A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. x A. z ( E. x
( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
2726exbii 1635 . 2  |-  ( E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) )  <->  E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. x A. z ( E. x
( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
281, 27bitr4i 252 1  |-  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587   A.wral 2795   E.wrex 2796   E!wreu 2797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802
This theorem is referenced by:  dfac0  8406  ac2  8734
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