Theorem acdcALT 7588

Description: Dependent Choice. Axiom DC1 of [Schechter] p. 149. This theorem is weaker than the Axiom of Choice but is stronger than Countable Choice. It shows the existence of a sequence whose values can only be shown to exist (but cannot be constructed explicitly) and also depend on earlier values in the sequence.

Hypothesis

Ref	Expression
acdcALT.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
acdcALT	|- ((A =/= (/) /\ F:A-->(P~A \ {(/)})) -> E.g(g:NN-->A /\ A.k e. NN (g` (k + 1)) e. (F` (g` k))))

Distinct variable groups:   g,k,A   g,F,k

Proof of Theorem acdcALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acdcALT.1	. . . 4 |- A e. V
2	1	acdc2 7582	. . 3 |- ((A =/= (/) /\ {<.<.x, y>., z>. | ((x e. NN /\ y e. A) /\ z = (F` y))}:(NN X. A)-->(P~A \ {(/)})) -> E.g(g:NN-->A /\ A.k e. NN (g` (k + 1)) e. ((k + 1){<.<.x, y>., z>. | ((x e. NN /\ y e. A) /\ z = (F` y))} (g` k))))
3		ffvelrn 3871	. . . . . . 7 |- ((F:A-->(P~A \ {(/)}) /\ y e. A) -> (F` y) e. (P~A \ {(/)}))
4	3	ex 380	. . . . . 6 |- (F:A-->(P~A \ {(/)}) -> (y e. A -> (F` y) e. (P~A \ {(/)})))
5	4	adantld 399	. . . . 5 |- (F:A-->(P~A \ {(/)}) -> ((x e. NN /\ y e. A) -> (F` y) e. (P~A \ {(/)})))
6	5	r19.21aivv 1767	. . . 4 |- (F:A-->(P~A \ {(/)}) -> A.x e. NN A.y e. A (F` y) e. (P~A \ {(/)}))
7		eqid 1522	. . . . 5 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. NN /\ y e. A) /\ z = (F` y))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. NN /\ y e. A) /\ z = (F` y))}
8	7	foprab2 4177	. . . 4 |- (A.x e. NN A.y e. A (F` y) e. (P~A \ {(/)}) <-> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. NN /\ y e. A) /\ z = (F` y))}:(NN X. A)-->(P~A \ {(/)}))
9	6, 8	sylib 205	. . 3 |- (F:A-->(P~A \ {(/)}) -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. NN /\ y e. A) /\ z = (F` y))}:(NN X. A)-->(P~A \ {(/)}))
10	2, 9	sylan2 462	. 2 |- ((A =/= (/) /\ F:A-->(P~A \ {(/)})) -> E.g(g:NN-->A /\ A.k e. NN (g` (k + 1)) e. ((k + 1){<.<.x, y>., z>. | ((x e. NN /\ y e. A) /\ z = (F` y))} (g` k))))
11		fvex 3789	. . . . . . . 8 |- (F` (g` k)) e. V
12		eqidd 1523	. . . . . . . 8 |- (x = (k + 1) -> (F` y) = (F` y))
13		fveq2 3781	. . . . . . . 8 |- (y = (g` k) -> (F` y) = (F` (g` k)))
14	11, 12, 13, 7	oprabval2 4086	. . . . . . 7 |- (((k + 1) e. NN /\ (g` k) e. A) -> ((k + 1){<.<.x, y>., z>. | ((x e. NN /\ y e. A) /\ z = (F` y))} (g` k)) = (F` (g` k)))
15		peano2nn 5995	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (k + 1) e. NN)
16	15	adantl 397	. . . . . . 7 |- ((g:NN-->A /\ k e. NN) -> (k + 1) e. NN)
17		ffvelrn 3871	. . . . . . 7 |- ((g:NN-->A /\ k e. NN) -> (g` k) e. A)
18	14, 16, 17	sylanc 482	. . . . . 6 |- ((g:NN-->A /\ k e. NN) -> ((k + 1){<.<.x, y>., z>. | ((x e. NN /\ y e. A) /\ z = (F` y))} (g` k)) = (F` (g` k)))
19	18	eleq2d 1588	. . . . 5 |- ((g:NN-->A /\ k e. NN) -> ((g` (k + 1)) e. ((k + 1){<.<.x, y>., z>. | ((x e. NN /\ y e. A) /\ z = (F` y))} (g` k)) <-> (g` (k + 1)) e. (F` (g` k))))
20	19	ralbidva 1706	. . . 4 |- (g:NN-->A -> (A.k e. NN (g` (k + 1)) e. ((k + 1){<.<.x, y>., z>. | ((x e. NN /\ y e. A) /\ z = (F` y))} (g` k)) <-> A.k e. NN (g` (k + 1)) e. (F` (g` k))))
21	20	pm5.32i 656	. . 3 |- ((g:NN-->A /\ A.k e. NN (g` (k + 1)) e. ((k + 1){<.<.x, y>., z>. | ((x e. NN /\ y e. A) /\ z = (F` y))} (g` k))) <-> (g:NN-->A /\ A.k e. NN (g` (k + 1)) e. (F` (g` k))))
22	21	exbii 1092	. 2 |- (E.g(g:NN-->A /\ A.k e. NN (g` (k + 1)) e. ((k + 1){<.<.x, y>., z>. | ((x e. NN /\ y e. A) /\ z = (F` y))} (g` k))) <-> E.g(g:NN-->A /\ A.k e. NN (g` (k + 1)) e. (F` (g` k))))
23	10, 22	sylib 205	1 |- ((A =/= (/) /\ F:A-->(P~A \ {(/)})) -> E.g(g:NN-->A /\ A.k e. NN (g` (k + 1)) e. (F` (g` k))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021   =/= wne 1632  A.wral 1692  Vcvv 1858   \ cdif 2095  (/)c0 2331  P~cpw 2453  {csn 2461   X. cxp 3225  -->wf 3235  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  {copab2 4022  1c1 5300   + caddc 5302  NNcn 5361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687  ax-ac 4806

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-iso 3256  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-n 5985  df-n0 6182  df-z 6218  df-seq1 6567

Copyright terms: Public domain