Theorem ac7 4810

Description: An Axiom of Choice equivalent similar to the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49.

Assertion

Ref	Expression
ac7	|- E.f(f (_ x /\ f Fn dom x)

Distinct variable group:   x,f

Proof of Theorem ac7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq2 4793	. . . . 5 |- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
2	1	albii 1040	. . . 4 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
3		aceq6a 4803	. . . 4 |- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))
4	2, 3	sylbi 206	. . 3 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))
5	4	19.21bi 1101	. 2 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) -> E.f(f (_ x /\ f Fn dom x))
6		ac2 4808	. 2 |- E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)
7	5, 6	mpg 1027	1 |- E.f(f (_ x /\ f Fn dom x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230  A.wal 995   e. wcel 999  E.wex 1021   =/= wne 1632  A.wral 1692  E.wrex 1693  E!wreu 1694   (_ wss 2098  (/)c0 2331  dom cdm 3227   Fn wfn 3234

This theorem is referenced by:  ac7g 4811  ac4 4812  ac8 4825  ackm 4844

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-ac 4806

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-id 2891  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255

Copyright terms: Public domain