MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6sg Structured version   Unicode version

Theorem ac6sg 8656
Description: ac6s 8652 with sethood as antecedent. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6sg.1  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6sg  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, x    B, f, x, y    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)    V( x, y, f)

Proof of Theorem ac6sg
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2916 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
2 feq2 5542 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
f : z --> B  <-> 
f : A --> B ) )
3 raleq 2916 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  ps 
<-> 
A. x  e.  A  ps ) )
42, 3anbi12d 710 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
54exbidv 1680 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( E. f ( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps ) 
<->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
61, 5imbi12d 320 . 2  |-  ( z  =  A  ->  (
( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps )
)  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) ) )
7 vex 2974 . . 3  |-  z  e. 
_V
8 ac6sg.1 . . 3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
97, 8ac6s 8652 . 2  |-  ( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps ) )
106, 9vtoclg 3029 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2714   E.wrex 2715   -->wf 5413   ` cfv 5417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-reg 7806  ax-inf2 7846  ax-ac2 8631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-en 7310  df-r1 7970  df-rank 7971  df-card 8108  df-ac 8285
This theorem is referenced by:  acsmapd  15347  bwthOLD  19013  ac6gf  28624
  Copyright terms: Public domain W3C validator