MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6sg Structured version   Unicode version

Theorem ac6sg 8818
Description: ac6s 8814 with sethood as antecedent. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6sg.1  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6sg  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, x    B, f, x, y    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)    V( x, y, f)

Proof of Theorem ac6sg
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3001 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
2 feq2 5651 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
f : z --> B  <-> 
f : A --> B ) )
3 raleq 3001 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  ps 
<-> 
A. x  e.  A  ps ) )
42, 3anbi12d 709 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
54exbidv 1733 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( E. f ( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps ) 
<->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
61, 5imbi12d 318 . 2  |-  ( z  =  A  ->  (
( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps )
)  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) ) )
7 vex 3059 . . 3  |-  z  e. 
_V
8 ac6sg.1 . . 3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
97, 8ac6s 8814 . 2  |-  ( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps ) )
106, 9vtoclg 3114 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403   E.wex 1631    e. wcel 1840   A.wral 2751   E.wrex 2752   -->wf 5519   ` cfv 5523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-reg 7970  ax-inf2 8009  ax-ac2 8793
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-en 7473  df-r1 8132  df-rank 8133  df-card 8270  df-ac 8447
This theorem is referenced by:  acsmapd  16022  foresf1o  27699  reff  28176  cmpcref  28187  omssubadd  28629  ac6gf  31469
  Copyright terms: Public domain W3C validator