Theorem ac6sg 10188

Description: ac6s 5918 with the first premise turned into a antecedent. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac6sg.1	|- (y = (f` x) -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
ac6sg	|- (A e. _V -> (A.x e. A E.y e. B ph -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps)))

Distinct variable groups:   A,f,x,y   B,f,x,y   ph,f   ps,y

Proof of Theorem ac6sg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2266	. . 3 |- (A = if(A e. _V, A, (/)) -> (A.x e. A E.y e. B ph <-> A.x e. if (A e. _V, A, (/))E.y e. B ph))
2		feq2 4552	. . . . 5 |- (A = if(A e. _V, A, (/)) -> (f:A-->B <-> f:if(A e. _V, A, (/))-->B))
3		raleq 2266	. . . . 5 |- (A = if(A e. _V, A, (/)) -> (A.x e. A ps <-> A.x e. if (A e. _V, A, (/))ps))
4	2, 3	anbi12d 690	. . . 4 |- (A = if(A e. _V, A, (/)) -> ((f:A-->B /\ A.x e. A ps) <-> (f:if(A e. _V, A, (/))-->B /\ A.x e. if (A e. _V, A, (/))ps)))
5	4	exbidv 1657	. . 3 |- (A = if(A e. _V, A, (/)) -> (E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps) <-> E.f(f:if(A e. _V, A, (/))-->B /\ A.x e. if (A e. _V, A, (/))ps)))
6	1, 5	imbi12d 688	. 2 |- (A = if(A e. _V, A, (/)) -> ((A.x e. A E.y e. B ph -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps)) <-> (A.x e. if (A e. _V, A, (/))E.y e. B ph -> E.f(f:if(A e. _V, A, (/))-->B /\ A.x e. if (A e. _V, A, (/))ps))))
7		0ex 3446	. . . 4 |- (/) e. _V
8	7	elimel 3025	. . 3 |- if(A e. _V, A, (/)) e. _V
9		ac6sg.1	. . 3 |- (y = (f` x) -> (ph <-> ps))
10	8, 9	ac6s 5918	. 2 |- (A.x e. if (A e. _V, A, (/))E.y e. B ph -> E.f(f:if(A e. _V, A, (/))-->B /\ A.x e. if (A e. _V, A, (/))ps))
11	6, 10	dedth 3011	1 |- (A e. _V -> (A.x e. A E.y e. B ph -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  ifcif 2982  -->wf 3994  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  bwt2 14960  ac6gf 15749

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-r1 5750  df-rank 5751

Copyright terms: Public domain