MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6sg Structured version   Unicode version

Theorem ac6sg 8859
Description: ac6s 8855 with sethood as antecedent. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6sg.1  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6sg  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, x    B, f, x, y    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)    V( x, y, f)

Proof of Theorem ac6sg
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3053 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
2 feq2 5707 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
f : z --> B  <-> 
f : A --> B ) )
3 raleq 3053 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  ps 
<-> 
A. x  e.  A  ps ) )
42, 3anbi12d 710 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
54exbidv 1685 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( E. f ( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps ) 
<->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
61, 5imbi12d 320 . 2  |-  ( z  =  A  ->  (
( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps )
)  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) ) )
7 vex 3111 . . 3  |-  z  e. 
_V
8 ac6sg.1 . . 3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
97, 8ac6s 8855 . 2  |-  ( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps ) )
106, 9vtoclg 3166 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   -->wf 5577   ` cfv 5581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-reg 8009  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-en 7509  df-r1 8173  df-rank 8174  df-card 8311  df-ac 8488
This theorem is referenced by:  acsmapd  15656  bwthOLD  19672  ac6gf  29815
  Copyright terms: Public domain W3C validator