Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6sf2 Structured version   Unicode version

Theorem ac6sf2 28172
Description: Alternate version of ac6 8861 with bound-variable hypothesis. (Contributed by NM, 2-Mar-2008.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6sf2.y  |-  F/_ y B
ac6sf2.1  |-  F/ y ps
ac6sf2.2  |-  A  e. 
_V
ac6sf2.3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6sf2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, B, f    ph, f    x, y, f
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, f)    A( y)    B( y)

Proof of Theorem ac6sf2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6sf2.y . . . 4  |-  F/_ y B
2 nfcv 2569 . . . 4  |-  F/_ z B
3 nfv 1755 . . . 4  |-  F/ z
ph
4 nfs1v 2243 . . . 4  |-  F/ y [ z  /  y ] ph
5 sbequ12 2057 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  [ z  /  y ] ph ) )
61, 2, 3, 4, 5cbvrexf 2991 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph )
76ralbii 2796 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [ z  /  y ] ph )
8 ac6sf2.2 . . 3  |-  A  e. 
_V
9 ac6sf2.1 . . . 4  |-  F/ y ps
10 ac6sf2.3 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
119, 10sbhypf 3070 . . 3  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  ( [ z  /  y ] ph  <->  ps ) )
128, 11ac6s 8865 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
137, 12sylbi 198 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657   F/wnf 1661   [wsb 1790    e. wcel 1872   F/_wnfc 2556   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022   -->wf 5540   ` cfv 5544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-reg 8060  ax-inf2 8099  ax-ac2 8844
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-en 7525  df-r1 8187  df-rank 8188  df-card 8325  df-ac 8498
This theorem is referenced by:  acunirnmpt2f  28209
  Copyright terms: Public domain W3C validator