Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6sf2 Structured version   Unicode version

Theorem ac6sf2 27606
Description: Alternate version of ac6 8773 with bound-variable hypothesis. (Contributed by NM, 2-Mar-2008.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6sf2.y  |-  F/_ y B
ac6sf2.1  |-  F/ y ps
ac6sf2.2  |-  A  e. 
_V
ac6sf2.3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6sf2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, B, f    ph, f    x, y, f
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, f)    A( y)    B( y)

Proof of Theorem ac6sf2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6sf2.y . . . 4  |-  F/_ y B
2 nfcv 2544 . . . 4  |-  F/_ z B
3 nfv 1715 . . . 4  |-  F/ z
ph
4 nfs1v 2185 . . . 4  |-  F/ y [ z  /  y ] ph
5 sbequ12 2000 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  [ z  /  y ] ph ) )
61, 2, 3, 4, 5cbvrexf 3004 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph )
76ralbii 2813 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [ z  /  y ] ph )
8 ac6sf2.2 . . 3  |-  A  e. 
_V
9 ac6sf2.1 . . . 4  |-  F/ y ps
10 ac6sf2.3 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
119, 10sbhypf 3081 . . 3  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  ( [ z  /  y ] ph  <->  ps ) )
128, 11ac6s 8777 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
137, 12sylbi 195 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399   E.wex 1620   F/wnf 1624   [wsb 1747    e. wcel 1826   F/_wnfc 2530   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034   -->wf 5492   ` cfv 5496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-reg 7933  ax-inf2 7972  ax-ac2 8756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-en 7436  df-r1 8095  df-rank 8096  df-card 8233  df-ac 8410
This theorem is referenced by:  acunirnmpt2f  27647
  Copyright terms: Public domain W3C validator