Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6sf2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ac6sf2 28275
Description: Alternate version of ac6 8936 with bound-variable hypothesis. (Contributed by NM, 2-Mar-2008.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6sf2.y  |-  F/_ y B
ac6sf2.1  |-  F/ y ps
ac6sf2.2  |-  A  e. 
_V
ac6sf2.3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6sf2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, B, f    ph, f    x, y, f
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, f)    A( y)    B( y)

Proof of Theorem ac6sf2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6sf2.y . . . 4  |-  F/_ y B
2 nfcv 2603 . . . 4  |-  F/_ z B
3 nfv 1772 . . . 4  |-  F/ z
ph
4 nfs1v 2277 . . . 4  |-  F/ y [ z  /  y ] ph
5 sbequ12 2094 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  [ z  /  y ] ph ) )
61, 2, 3, 4, 5cbvrexf 3026 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph )
76ralbii 2831 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [ z  /  y ] ph )
8 ac6sf2.2 . . 3  |-  A  e. 
_V
9 ac6sf2.1 . . . 4  |-  F/ y ps
10 ac6sf2.3 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
119, 10sbhypf 3107 . . 3  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  ( [ z  /  y ] ph  <->  ps ) )
128, 11ac6s 8940 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
137, 12sylbi 200 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455   E.wex 1674   F/wnf 1678   [wsb 1808    e. wcel 1898   F/_wnfc 2590   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   -->wf 5597   ` cfv 5601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-reg 8133  ax-inf2 8172  ax-ac2 8919
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-om 6720  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-en 7596  df-r1 8261  df-rank 8262  df-card 8399  df-ac 8573
This theorem is referenced by:  acunirnmpt2f  28312
  Copyright terms: Public domain W3C validator