MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6sf Structured version   Unicode version

Theorem ac6sf 8870
Description: Version of ac6 8861 with bound-variable hypothesis. (Contributed by NM, 2-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6sf.1  |-  F/ y ps
ac6sf.2  |-  A  e. 
_V
ac6sf.3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6sf  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, y, B, f    ph, f
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6sf
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cbvrexsv 3100 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph )
21ralbii 2895 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [ z  /  y ] ph )
3 ac6sf.2 . . 3  |-  A  e. 
_V
4 ac6sf.1 . . . 4  |-  F/ y ps
5 ac6sf.3 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
64, 5sbhypf 3160 . . 3  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  ( [ z  /  y ] ph  <->  ps ) )
73, 6ac6s 8865 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
82, 7sylbi 195 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596   F/wnf 1599   [wsb 1711    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   -->wf 5584   ` cfv 5588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-reg 8019  ax-inf2 8059  ax-ac2 8844
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-en 7518  df-r1 8183  df-rank 8184  df-card 8321  df-ac 8498
This theorem is referenced by:  ac6s3f  30410
  Copyright terms: Public domain W3C validator