Theorem ac6s6f 30185

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s6f.1	|- A e. _V
ac6s6f.2	|- F/ y ps
ac6s6f.3	|- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
ac6s6f.4	|- F/_ x A

Assertion

Ref	Expression
ac6s6f	|- E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps )

Distinct variable groups:   ph, f   x, y, f   A, f

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, f)   A( x, y)

Proof of Theorem ac6s6f

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s6f.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2	1	isseti 3119	. . . . 5 |- E. z z = A
3		ac6s6f.2	. . . . . 6 |- F/ y ps
4		vex 3116	. . . . . 6 |- z e. _V
5		ac6s6f.3	. . . . . 6 |- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
6	3, 4, 5	ac6s6 30184	. . . . 5 |- E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps )
7	2, 6	pm3.2i 455	. . . 4 |- ( E. z z = A /\ E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps ) )
8	7	exan 1922	. . 3 |- E. z ( z = A /\ E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps ) )
9		exdistr 1950	. . 3 |- ( E. z E. f ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) <-> E. z ( z = A /\ E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) )
10	8, 9	mpbir 209	. 2 |- E. z E. f ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) )
11		nfcv 2629	. . . . 5 |- F/_ x z
12		ac6s6f.4	. . . . 5 |- F/_ x A
13	11, 12	raleqf 3054	. . . 4 |- ( z = A -> ( A. x e. z ( E. y ph -> ps ) <-> A. x e. A ( E. y ph -> ps ) ) )
14	13	biimpa 484	. . 3 |- ( ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) -> A. x e. A ( E. y ph -> ps ) )
15	14	2eximi 1636	. 2 |- ( E. z E. f ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) -> E. z E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps ) )
16		ax5e 1682	. 2 |- ( E. z E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps ) -> E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps ) )
17	10, 15, 16	mp2b 10	1 |- E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   F/wnf 1599   e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   A.wral 2814   _Vcvv 3113   ` cfv 5586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-reg 8014  ax-inf2 8054  ax-ac2 8839

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-en 7514  df-r1 8178  df-rank 8179  df-card 8316  df-ac 8493

This theorem is referenced by: (None)