Users' Mathboxes Mathbox for Giovanni Mascellani < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6s6f Structured version   Unicode version

Theorem ac6s6f 31876
Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s6f.1  |-  A  e. 
_V
ac6s6f.2  |-  F/ y ps
ac6s6f.3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
ac6s6f.4  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
ac6s6f  |-  E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
Distinct variable groups:    ph, f    x, y, f    A, f
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, f)    A( x, y)

Proof of Theorem ac6s6f
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6s6f.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
21isseti 3067 . . . . 5  |-  E. z 
z  =  A
3 ac6s6f.2 . . . . . 6  |-  F/ y ps
4 vex 3064 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
5 ac6s6f.3 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
63, 4, 5ac6s6 31875 . . . . 5  |-  E. f A. x  e.  z 
( E. y ph  ->  ps )
72, 6pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( E. z  z  =  A  /\  E. f A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )
87exan 2003 . . 3  |-  E. z
( z  =  A  /\  E. f A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )
9 exdistr 1802 . . 3  |-  ( E. z E. f ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )  <->  E. z
( z  =  A  /\  E. f A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) ) )
108, 9mpbir 211 . 2  |-  E. z E. f ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps )
)
11 nfcv 2566 . . . . 5  |-  F/_ x
z
12 ac6s6f.4 . . . . 5  |-  F/_ x A
1311, 12raleqf 3002 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z 
( E. y ph  ->  ps )  <->  A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
) )
1413biimpa 484 . . 3  |-  ( ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )  ->  A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
)
15142eximi 1680 . 2  |-  ( E. z E. f ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )  ->  E. z E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps ) )
16 ax5e 1729 . 2  |-  ( E. z E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )  ->  E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
)
1710, 15, 16mp2b 10 1  |-  E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407   E.wex 1635   F/wnf 1639    e. wcel 1844   F/_wnfc 2552   A.wral 2756   _Vcvv 3061   ` cfv 5571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-reg 8054  ax-inf2 8093  ax-ac2 8877
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-en 7557  df-r1 8216  df-rank 8217  df-card 8354  df-ac 8531
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator