Theorem ac6s6f 32462

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s6f.1	|- A e. _V
ac6s6f.2	|- F/ y ps
ac6s6f.3	|- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
ac6s6f.4	|- F/_ x A

Assertion

Ref	Expression
ac6s6f	|- E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps )

Distinct variable groups:   ph, f   x, y, f   A, f

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, f)   A( x, y)

Proof of Theorem ac6s6f

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s6f.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2	1	isseti 3063	. . . . 5 |- E. z z = A
3		ac6s6f.2	. . . . . 6 |- F/ y ps
4		vex 3060	. . . . . 6 |- z e. _V
5		ac6s6f.3	. . . . . 6 |- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
6	3, 4, 5	ac6s6 32461	. . . . 5 |- E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps )
7	2, 6	pm3.2i 461	. . . 4 |- ( E. z z = A /\ E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps ) )
8	7	exan 2064	. . 3 |- E. z ( z = A /\ E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps ) )
9		exdistr 1846	. . 3 |- ( E. z E. f ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) <-> E. z ( z = A /\ E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) )
10	8, 9	mpbir 214	. 2 |- E. z E. f ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) )
11		nfcv 2603	. . . . 5 |- F/_ x z
12		ac6s6f.4	. . . . 5 |- F/_ x A
13	11, 12	raleqf 2995	. . . 4 |- ( z = A -> ( A. x e. z ( E. y ph -> ps ) <-> A. x e. A ( E. y ph -> ps ) ) )
14	13	biimpa 491	. . 3 |- ( ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) -> A. x e. A ( E. y ph -> ps ) )
15	14	2eximi 1719	. 2 |- ( E. z E. f ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) -> E. z E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps ) )
16		ax5e 1771	. 2 |- ( E. z E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps ) -> E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps ) )
17	10, 15, 16	mp2b 10	1 |- E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   E.wex 1674   F/wnf 1678   e. wcel 1898   F/_wnfc 2590   A.wral 2749   _Vcvv 3057   ` cfv 5605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-reg 8138  ax-inf2 8177  ax-ac2 8924

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-om 6725  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-en 7601  df-r1 8266  df-rank 8267  df-card 8404  df-ac 8578

This theorem is referenced by: (None)