Users' Mathboxes Mathbox for Giovanni Mascellani < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6s6f Structured version   Unicode version

Theorem ac6s6f 30185
Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s6f.1  |-  A  e. 
_V
ac6s6f.2  |-  F/ y ps
ac6s6f.3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
ac6s6f.4  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
ac6s6f  |-  E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
Distinct variable groups:    ph, f    x, y, f    A, f
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, f)    A( x, y)

Proof of Theorem ac6s6f
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6s6f.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
21isseti 3119 . . . . 5  |-  E. z 
z  =  A
3 ac6s6f.2 . . . . . 6  |-  F/ y ps
4 vex 3116 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
5 ac6s6f.3 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
63, 4, 5ac6s6 30184 . . . . 5  |-  E. f A. x  e.  z 
( E. y ph  ->  ps )
72, 6pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( E. z  z  =  A  /\  E. f A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )
87exan 1922 . . 3  |-  E. z
( z  =  A  /\  E. f A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )
9 exdistr 1950 . . 3  |-  ( E. z E. f ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )  <->  E. z
( z  =  A  /\  E. f A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) ) )
108, 9mpbir 209 . 2  |-  E. z E. f ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps )
)
11 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ x
z
12 ac6s6f.4 . . . . 5  |-  F/_ x A
1311, 12raleqf 3054 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z 
( E. y ph  ->  ps )  <->  A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
) )
1413biimpa 484 . . 3  |-  ( ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )  ->  A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
)
15142eximi 1636 . 2  |-  ( E. z E. f ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )  ->  E. z E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps ) )
16 ax5e 1682 . 2  |-  ( E. z E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )  ->  E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
)
1710, 15, 16mp2b 10 1  |-  E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596   F/wnf 1599    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   A.wral 2814   _Vcvv 3113   ` cfv 5586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-reg 8014  ax-inf2 8054  ax-ac2 8839
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-en 7514  df-r1 8178  df-rank 8179  df-card 8316  df-ac 8493
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator