Users' Mathboxes Mathbox for Giovanni Mascellani < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6s6f Structured version   Unicode version

Theorem ac6s6f 29128
Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s6f.1  |-  A  e. 
_V
ac6s6f.2  |-  F/ y ps
ac6s6f.3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
ac6s6f.4  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
ac6s6f  |-  E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
Distinct variable groups:    ph, f    x, y, f    A, f
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, f)    A( x, y)

Proof of Theorem ac6s6f
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6s6f.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
21isseti 3078 . . . . 5  |-  E. z 
z  =  A
3 ac6s6f.2 . . . . . 6  |-  F/ y ps
4 vex 3075 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
5 ac6s6f.3 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
63, 4, 5ac6s6 29127 . . . . 5  |-  E. f A. x  e.  z 
( E. y ph  ->  ps )
72, 6pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( E. z  z  =  A  /\  E. f A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )
87exan 1912 . . 3  |-  E. z
( z  =  A  /\  E. f A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )
9 exdistr 1936 . . 3  |-  ( E. z E. f ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )  <->  E. z
( z  =  A  /\  E. f A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) ) )
108, 9mpbir 209 . 2  |-  E. z E. f ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps )
)
11 nfcv 2614 . . . . 5  |-  F/_ x
z
12 ac6s6f.4 . . . . 5  |-  F/_ x A
1311, 12raleqf 3013 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z 
( E. y ph  ->  ps )  <->  A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
) )
1413biimpa 484 . . 3  |-  ( ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )  ->  A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
)
15142eximi 1627 . 2  |-  ( E. z E. f ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )  ->  E. z E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps ) )
16 ax5e 1673 . 2  |-  ( E. z E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )  ->  E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
)
1710, 15, 16mp2b 10 1  |-  E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587   F/wnf 1590    e. wcel 1758   F/_wnfc 2600   A.wral 2796   _Vcvv 3072   ` cfv 5521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-reg 7913  ax-inf2 7953  ax-ac2 8738
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-en 7416  df-r1 8077  df-rank 8078  df-card 8215  df-ac 8392
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator