Theorem ac6s6f 31876

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s6f.1	|- A e. _V
ac6s6f.2	|- F/ y ps
ac6s6f.3	|- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
ac6s6f.4	|- F/_ x A

Assertion

Ref	Expression
ac6s6f	|- E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps )

Distinct variable groups:   ph, f   x, y, f   A, f

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, f)   A( x, y)

Proof of Theorem ac6s6f

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s6f.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2	1	isseti 3067	. . . . 5 |- E. z z = A
3		ac6s6f.2	. . . . . 6 |- F/ y ps
4		vex 3064	. . . . . 6 |- z e. _V
5		ac6s6f.3	. . . . . 6 |- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
6	3, 4, 5	ac6s6 31875	. . . . 5 |- E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps )
7	2, 6	pm3.2i 455	. . . 4 |- ( E. z z = A /\ E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps ) )
8	7	exan 2003	. . 3 |- E. z ( z = A /\ E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps ) )
9		exdistr 1802	. . 3 |- ( E. z E. f ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) <-> E. z ( z = A /\ E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) )
10	8, 9	mpbir 211	. 2 |- E. z E. f ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) )
11		nfcv 2566	. . . . 5 |- F/_ x z
12		ac6s6f.4	. . . . 5 |- F/_ x A
13	11, 12	raleqf 3002	. . . 4 |- ( z = A -> ( A. x e. z ( E. y ph -> ps ) <-> A. x e. A ( E. y ph -> ps ) ) )
14	13	biimpa 484	. . 3 |- ( ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) -> A. x e. A ( E. y ph -> ps ) )
15	14	2eximi 1680	. 2 |- ( E. z E. f ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) -> E. z E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps ) )
16		ax5e 1729	. 2 |- ( E. z E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps ) -> E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps ) )
17	10, 15, 16	mp2b 10	1 |- E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   = wceq 1407   E.wex 1635   F/wnf 1639   e. wcel 1844   F/_wnfc 2552   A.wral 2756   _Vcvv 3061   ` cfv 5571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-reg 8054  ax-inf2 8093  ax-ac2 8877

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-en 7557  df-r1 8216  df-rank 8217  df-card 8354  df-ac 8531

This theorem is referenced by: (None)