Theorem ac6s6f 29128

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s6f.1	|- A e. _V
ac6s6f.2	|- F/ y ps
ac6s6f.3	|- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
ac6s6f.4	|- F/_ x A

Assertion

Ref	Expression
ac6s6f	|- E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps )

Distinct variable groups:   ph, f   x, y, f   A, f

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, f)   A( x, y)

Proof of Theorem ac6s6f

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s6f.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2	1	isseti 3078	. . . . 5 |- E. z z = A
3		ac6s6f.2	. . . . . 6 |- F/ y ps
4		vex 3075	. . . . . 6 |- z e. _V
5		ac6s6f.3	. . . . . 6 |- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
6	3, 4, 5	ac6s6 29127	. . . . 5 |- E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps )
7	2, 6	pm3.2i 455	. . . 4 |- ( E. z z = A /\ E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps ) )
8	7	exan 1912	. . 3 |- E. z ( z = A /\ E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps ) )
9		exdistr 1936	. . 3 |- ( E. z E. f ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) <-> E. z ( z = A /\ E. f A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) )
10	8, 9	mpbir 209	. 2 |- E. z E. f ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) )
11		nfcv 2614	. . . . 5 |- F/_ x z
12		ac6s6f.4	. . . . 5 |- F/_ x A
13	11, 12	raleqf 3013	. . . 4 |- ( z = A -> ( A. x e. z ( E. y ph -> ps ) <-> A. x e. A ( E. y ph -> ps ) ) )
14	13	biimpa 484	. . 3 |- ( ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) -> A. x e. A ( E. y ph -> ps ) )
15	14	2eximi 1627	. 2 |- ( E. z E. f ( z = A /\ A. x e. z ( E. y ph -> ps ) ) -> E. z E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps ) )
16		ax5e 1673	. 2 |- ( E. z E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps ) -> E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps ) )
17	10, 15, 16	mp2b 10	1 |- E. f A. x e. A ( E. y ph -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   E.wex 1587   F/wnf 1590   e. wcel 1758   F/_wnfc 2600   A.wral 2796   _Vcvv 3072   ` cfv 5521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-reg 7913  ax-inf2 7953  ax-ac2 8738

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-en 7416  df-r1 8077  df-rank 8078  df-card 8215  df-ac 8392

This theorem is referenced by: (None)