Users' Mathboxes Mathbox for Giovanni Mascellani < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6s6f Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ac6s6f 32462
Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, moving the existence condition in the consequent. (Contributed by Giovanni Mascellani, 20-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s6f.1  |-  A  e. 
_V
ac6s6f.2  |-  F/ y ps
ac6s6f.3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
ac6s6f.4  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
ac6s6f  |-  E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
Distinct variable groups:    ph, f    x, y, f    A, f
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, f)    A( x, y)

Proof of Theorem ac6s6f
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6s6f.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
21isseti 3063 . . . . 5  |-  E. z 
z  =  A
3 ac6s6f.2 . . . . . 6  |-  F/ y ps
4 vex 3060 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
5 ac6s6f.3 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
63, 4, 5ac6s6 32461 . . . . 5  |-  E. f A. x  e.  z 
( E. y ph  ->  ps )
72, 6pm3.2i 461 . . . 4  |-  ( E. z  z  =  A  /\  E. f A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )
87exan 2064 . . 3  |-  E. z
( z  =  A  /\  E. f A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )
9 exdistr 1846 . . 3  |-  ( E. z E. f ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )  <->  E. z
( z  =  A  /\  E. f A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) ) )
108, 9mpbir 214 . 2  |-  E. z E. f ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps )
)
11 nfcv 2603 . . . . 5  |-  F/_ x
z
12 ac6s6f.4 . . . . 5  |-  F/_ x A
1311, 12raleqf 2995 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z 
( E. y ph  ->  ps )  <->  A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
) )
1413biimpa 491 . . 3  |-  ( ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )  ->  A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
)
15142eximi 1719 . 2  |-  ( E. z E. f ( z  =  A  /\  A. x  e.  z  ( E. y ph  ->  ps ) )  ->  E. z E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps ) )
16 ax5e 1771 . 2  |-  ( E. z E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )  ->  E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
)
1710, 15, 16mp2b 10 1  |-  E. f A. x  e.  A  ( E. y ph  ->  ps )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455   E.wex 1674   F/wnf 1678    e. wcel 1898   F/_wnfc 2590   A.wral 2749   _Vcvv 3057   ` cfv 5605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-reg 8138  ax-inf2 8177  ax-ac2 8924
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-om 6725  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-en 7601  df-r1 8266  df-rank 8267  df-card 8404  df-ac 8578
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator