Users' Mathboxes Mathbox for Giovanni Mascellani < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6s3f Structured version   Unicode version

Theorem ac6s3f 29130
Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, with bound-variable hypothesis. (Contributed by Giovanni Mascellani, 19-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s3f.1  |-  F/ y ps
ac6s3f.2  |-  A  e. 
_V
ac6s3f.3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6s3f  |-  ( A. x  e.  A  E. y ph  ->  E. f A. x  e.  A  ps )
Distinct variable groups:    ph, f    x, y    x, A, f    y,
f    A, f
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6s3f
StepHypRef Expression
1 rexv 3091 . . . 4  |-  ( E. y  e.  _V  ph  <->  E. y ph )
21ralbii 2838 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  _V  ph  <->  A. x  e.  A  E. y ph )
32biimpri 206 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y ph  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  _V  ph )
4 ac6s3f.1 . . 3  |-  F/ y ps
5 ac6s3f.2 . . 3  |-  A  e. 
_V
6 ac6s3f.3 . . 3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
74, 5, 6ac6sf 8768 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  _V  ph  ->  E. f ( f : A --> _V  /\  A. x  e.  A  ps )
)
8 exsimpr 1646 . 2  |-  ( E. f ( f : A --> _V  /\  A. x  e.  A  ps )  ->  E. f A. x  e.  A  ps )
93, 7, 83syl 20 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y ph  ->  E. f A. x  e.  A  ps )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587   F/wnf 1590    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799   _Vcvv 3076   -->wf 5521   ` cfv 5525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-reg 7917  ax-inf2 7957  ax-ac2 8742
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-en 7420  df-r1 8081  df-rank 8082  df-card 8219  df-ac 8396
This theorem is referenced by:  ac6s6  29131
  Copyright terms: Public domain W3C validator