Theorem ac6s2 8905

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes. Slightly strengthened version of ac6s3 8906. (Contributed by NM, 29-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	|- A e. _V
ac6s.2	|- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ac6s2	|- ( A. x e. A E. y ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )

Distinct variable groups:   x, f, A   x, y, f   ph, f   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, f)   A( y)

Proof of Theorem ac6s2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexv 3093	. . 3 |- ( E. y e. _V ph <-> E. y ph )
2	1	ralbii 2854	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. _V ph <-> A. x e. A E. y ph )
3		ac6s.1	. . . 4 |- A e. _V
4		ac6s.2	. . . 4 |- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
5	3, 4	ac6s 8903	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. _V ph -> E. f ( f : A --> _V /\ A. x e. A ps ) )
6		ffn 5737	. . . . 5 |- ( f : A --> _V -> f Fn A )
7	6	anim1i 570	. . . 4 |- ( ( f : A --> _V /\ A. x e. A ps ) -> ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )
8	7	eximi 1702	. . 3 |- ( E. f ( f : A --> _V /\ A. x e. A ps ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )
9	5, 8	syl 17	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. _V ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )
10	2, 9	sylbir 216	1 |- ( A. x e. A E. y ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   _Vcvv 3078   Fn wfn 5587   -->wf 5588   ` cfv 5592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-reg 8098  ax-inf2 8137  ax-ac2 8882

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-en 7569  df-r1 8225  df-rank 8226  df-card 8363  df-ac 8536

This theorem is referenced by:  ac6s3  8906  ac6s4  8909  ptpcon  29785