Theorem ac6s2 8913

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes. Slightly strengthened version of ac6s3 8914. (Contributed by NM, 29-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	|- A e. _V
ac6s.2	|- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ac6s2	|- ( A. x e. A E. y ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )

Distinct variable groups:   x, f, A   x, y, f   ph, f   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, f)   A( y)

Proof of Theorem ac6s2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexv 3061	. . 3 |- ( E. y e. _V ph <-> E. y ph )
2	1	ralbii 2818	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. _V ph <-> A. x e. A E. y ph )
3		ac6s.1	. . . 4 |- A e. _V
4		ac6s.2	. . . 4 |- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
5	3, 4	ac6s 8911	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. _V ph -> E. f ( f : A --> _V /\ A. x e. A ps ) )
6		ffn 5726	. . . . 5 |- ( f : A --> _V -> f Fn A )
7	6	anim1i 571	. . . 4 |- ( ( f : A --> _V /\ A. x e. A ps ) -> ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )
8	7	eximi 1706	. . 3 |- ( E. f ( f : A --> _V /\ A. x e. A ps ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )
9	5, 8	syl 17	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. _V ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )
10	2, 9	sylbir 217	1 |- ( A. x e. A E. y ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-reg 8104  ax-inf2 8143  ax-ac2 8890

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-en 7567  df-r1 8232  df-rank 8233  df-card 8370  df-ac 8544

This theorem is referenced by:  ac6s3  8914  ac6s4  8917  ptpcon  29949