Theorem ac6s2 8867

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes. Slightly strengthened version of ac6s3 8868. (Contributed by NM, 29-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	|- A e. _V
ac6s.2	|- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ac6s2	|- ( A. x e. A E. y ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )

Distinct variable groups:   x, f, A   x, y, f   ph, f   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, f)   A( y)

Proof of Theorem ac6s2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexv 3128	. . 3 |- ( E. y e. _V ph <-> E. y ph )
2	1	ralbii 2895	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. _V ph <-> A. x e. A E. y ph )
3		ac6s.1	. . . 4 |- A e. _V
4		ac6s.2	. . . 4 |- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
5	3, 4	ac6s 8865	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. _V ph -> E. f ( f : A --> _V /\ A. x e. A ps ) )
6		ffn 5731	. . . . 5 |- ( f : A --> _V -> f Fn A )
7	6	anim1i 568	. . . 4 |- ( ( f : A --> _V /\ A. x e. A ps ) -> ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )
8	7	eximi 1635	. . 3 |- ( E. f ( f : A --> _V /\ A. x e. A ps ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )
9	5, 8	syl 16	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. _V ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )
10	2, 9	sylbir 213	1 |- ( A. x e. A E. y ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-reg 8019  ax-inf2 8059  ax-ac2 8844

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-en 7518  df-r1 8183  df-rank 8184  df-card 8321  df-ac 8498

This theorem is referenced by:  ac6s3  8868  ac6s4  8871  ptpcon  28429