MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6s Structured version   Unicode version

Theorem ac6s 8853
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Using the Boundedness Axiom bnd2 8300, we derive this strong version of ac6 8849 that doesn't require  B to be a set. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1  |-  A  e. 
_V
ac6s.2  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6s  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, y, B, f    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6s
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
21bnd2 8300 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
3 vex 3109 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
4 ac6s.2 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
51, 3, 4ac6 8849 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph  ->  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) )
65anim2i 569 . . 3  |-  ( ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph )  ->  ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
76eximi 1630 . 2  |-  ( E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph )  ->  E. z ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
8 fss 5730 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> z  /\  z  C_  B )  -> 
f : A --> B )
98expcom 435 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  B  ->  (
f : A --> z  -> 
f : A --> B ) )
109anim1d 564 . . . . 5  |-  ( z 
C_  B  ->  (
( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps )  -> 
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
1110eximdv 1681 . . . 4  |-  ( z 
C_  B  ->  ( E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
1211imp 429 . . 3  |-  ( ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
1312exlimiv 1693 . 2  |-  ( E. z ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
142, 7, 133syl 20 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   -->wf 5575   ` cfv 5579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-reg 8007  ax-inf2 8047  ax-ac2 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-en 7507  df-r1 8171  df-rank 8172  df-card 8309  df-ac 8486
This theorem is referenced by:  ac6n  8854  ac6s2  8855  ac6sg  8857  ac6sf  8858  nmounbseqiOLD  25219
  Copyright terms: Public domain W3C validator