MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6s Structured version   Unicode version

Theorem ac6s 8896
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Using the Boundedness Axiom bnd2 8343, we derive this strong version of ac6 8892 that doesn't require  B to be a set. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1  |-  A  e. 
_V
ac6s.2  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6s  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, y, B, f    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6s
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
21bnd2 8343 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
3 vex 3062 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
4 ac6s.2 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
51, 3, 4ac6 8892 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph  ->  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) )
65anim2i 567 . . 3  |-  ( ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph )  ->  ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
76eximi 1677 . 2  |-  ( E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph )  ->  E. z ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
8 fss 5722 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> z  /\  z  C_  B )  -> 
f : A --> B )
98expcom 433 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  B  ->  (
f : A --> z  -> 
f : A --> B ) )
109anim1d 562 . . . . 5  |-  ( z 
C_  B  ->  (
( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps )  -> 
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
1110eximdv 1731 . . . 4  |-  ( z 
C_  B  ->  ( E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
1211imp 427 . . 3  |-  ( ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
1312exlimiv 1743 . 2  |-  ( E. z ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
142, 7, 133syl 18 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   -->wf 5565   ` cfv 5569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-reg 8052  ax-inf2 8091  ax-ac2 8875
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-en 7555  df-r1 8214  df-rank 8215  df-card 8352  df-ac 8529
This theorem is referenced by:  ac6n  8897  ac6s2  8898  ac6sg  8900  ac6sf  8901  nmounbseqiALT  26107  ac6sf2  27909  acunirnmpt2  27944
  Copyright terms: Public domain W3C validator