MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6s Structured version   Unicode version

Theorem ac6s 8641
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Using the Boundedness Axiom bnd2 8088, we derive this strong version of ac6 8637 that doesn't require  B to be a set. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1  |-  A  e. 
_V
ac6s.2  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6s  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, y, B, f    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6s
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
21bnd2 8088 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
3 vex 2965 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
4 ac6s.2 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
51, 3, 4ac6 8637 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph  ->  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) )
65anim2i 564 . . 3  |-  ( ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph )  ->  ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
76eximi 1626 . 2  |-  ( E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph )  ->  E. z ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
8 fss 5555 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> z  /\  z  C_  B )  -> 
f : A --> B )
98expcom 435 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  B  ->  (
f : A --> z  -> 
f : A --> B ) )
109anim1d 559 . . . . 5  |-  ( z 
C_  B  ->  (
( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps )  -> 
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
1110eximdv 1675 . . . 4  |-  ( z 
C_  B  ->  ( E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
1211imp 429 . . 3  |-  ( ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
1312exlimiv 1687 . 2  |-  ( E. z ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
142, 7, 133syl 20 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   -->wf 5402   ` cfv 5406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-reg 7795  ax-inf2 7835  ax-ac2 8620
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-en 7299  df-r1 7959  df-rank 7960  df-card 8097  df-ac 8274
This theorem is referenced by:  ac6n  8642  ac6s2  8643  ac6sg  8645  ac6sf  8646  nmounbseqiOLD  24000
  Copyright terms: Public domain W3C validator