Theorem ac6num 8644

Description: A version of ac6 8645 which takes the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac6num.1	|- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ac6num	|- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )

Distinct variable groups:   x, f, A   y, f, B, x   ph, f   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, f)   A( y)   V( x, y, f)

Proof of Theorem ac6num

Dummy variables g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfiu1 4197	. . . . . . . . 9 |- F/_ x U_ x e. A { y e. B | ph }
2	1	nfel1 2587	. . . . . . . 8 |- F/ x U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card
3		ssiun2 4210	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } )
4		ssexg 4435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card ) -> { y e. B | ph } e. _V )
5	4	expcom 435	. . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> ( { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } -> { y e. B | ph } e. _V ) )
6	3, 5	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> ( x e. A -> { y e. B | ph } e. _V ) )
7	2, 6	ralrimi 2795	. . . . . . 7 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> A. x e. A { y e. B | ph } e. _V )
8		dfiun2g 4199	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A { y e. B | ph } e. _V -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } } )
9	7, 8	syl 16	. . . . . 6 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } } )
10		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = ( x e. A |-> { y e. B | ph } )
11	10	rnmpt 5081	. . . . . . 7 |- ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } }
12	11	unieqi 4097	. . . . . 6 |- U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } }
13	9, 12	syl6eqr 2491	. . . . 5 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
14		id 22	. . . . 5 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card )
15	13, 14	eqeltrrd 2516	. . . 4 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card )
16	15	3ad2ant2 1005	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card )
17		simp3 985	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> A. x e. A E. y e. B ph )
18		necom 2691	. . . . . . . 8 |- ( { y e. B | ph } =/= (/) <-> (/) =/= { y e. B | ph } )
19		rabn0 3654	. . . . . . . 8 |- ( { y e. B | ph } =/= (/) <-> E. y e. B ph )
20		df-ne 2606	. . . . . . . 8 |- ( (/) =/= { y e. B | ph } <-> -. (/) = { y e. B | ph } )
21	18, 19, 20	3bitr3i 275	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ph <-> -. (/) = { y e. B | ph } )
22	21	ralbii 2737	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> A. x e. A -. (/) = { y e. B | ph } )
23		ralnex 2723	. . . . . 6 |- ( A. x e. A -. (/) = { y e. B | ph } <-> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
24	22, 23	bitri 249	. . . . 5 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
25	17, 24	sylib 196	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
26		0ex 4419	. . . . 5 |- (/) e. _V
27	10	elrnmpt 5082	. . . . 5 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) <-> E. x e. A (/) = { y e. B | ph } ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 |- ( (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) <-> E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
29	25, 28	sylnibr 305	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> -. (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
30		ac5num 8202	. . 3 |- ( ( U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card /\ -. (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ) -> E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
31	16, 29, 30	syl2anc 656	. 2 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
32		ffn 5556	. . . . . 6 |- ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) -> g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
33	32	anim1i 565	. . . . 5 |- ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
34	7	3ad2ant2 1005	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> A. x e. A { y e. B | ph } e. _V )
35		fveq2 5688	. . . . . . . . 9 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( g ` z ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
36		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( z = { y e. B | ph } -> z = { y e. B | ph } )
37	35, 36	eleq12d 2509	. . . . . . . 8 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( ( g ` z ) e. z <-> ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
38	10, 37	ralrnmpt 5849	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A { y e. B | ph } e. _V -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z <-> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
39	34, 38	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z <-> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
40	39	anbi2d 698	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) <-> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) )
41	33, 40	syl5ib 219	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) )
42	3	sseld 3352	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } ) )
43	42	ralimia 2787	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
44	43	ad2antll 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
45		nfv 1678	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph }
46		nfcsb1v 3301	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } )
47	46, 1	nfel 2585	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph }
48		csbeq1a 3294	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( g ` { y e. B | ph } ) = [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) )
49	48	eleq1d 2507	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } ) )
50	45, 47, 49	cbvral 2941	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
51	44, 50	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
52		nfcv 2577	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z ( g ` { y e. B | ph } )
53	52, 46, 48	cbvmpt 4379	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) = ( z e. A |-> [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) )
54	53	fmpt 5861	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } )
55	51, 54	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } )
56		simpl1 986	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A e. V )
57		simpl2 987	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card )
58		fex2 6531	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } /\ A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V )
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1213	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V )
60		ssrab2 3434	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. B | ph } C_ B
61	60	sseli 3349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
62	61	ralimi 2789	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
63	62	ad2antll 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
64		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
65	64	fmpt 5861	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B )
66	63, 65	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B )
67		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y B
68	67	elrabsf 3222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } <-> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. B /\ [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
69	68	simprbi 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
70	69	ralimi 2789	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
71	70	ad2antll 723	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
72	66, 71	jca 529	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
73		feq1 5539	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( f : A --> B <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B ) )
74		nfmpt1 4378	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
75	74	nfeq2 2588	. . . . . . . . 9 |- F/ x f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
76		fvex 5698	. . . . . . . . . . 11 |- ( f ` x ) e. _V
77		ac6num.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
78	76, 77	sbcie 3218	. . . . . . . . . 10 |- ( [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> ps )
79		fveq1 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( f ` x ) = ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) )
80		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g ` { y e. B | ph } ) e. _V
81	64	fvmpt2 5778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ ( g ` { y e. B | ph } ) e. _V ) -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
82	80, 81	mpan2 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
83	79, 82	sylan9eq 2493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
84		dfsbcq 3185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) -> ( [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
85	83, 84	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
86	78, 85	syl5bbr 259	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( ps <-> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
87	75, 86	ralbida 2727	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( A. x e. A ps <-> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
88	73, 87	anbi12d 705	. . . . . . 7 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) <-> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) ) )
89	88	spcegv 3055	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V -> ( ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
90	59, 72, 89	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )
91	90	ex 434	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
92	41, 91	syld 44	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
93	92	exlimdv 1695	. 2 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
94	31, 93	mpd 15	1 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   {cab 2427   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970   [.wsbc 3183   [_csb 3285   C_ wss 3325   (/)c0 3634   U.cuni 4088   U_ciun 4168   e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ran crn 4837   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415   cardccrd 8101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-en 7307  df-card 8105

This theorem is referenced by:  ac6  8645  ptcmplem3  19526