Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6num Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ac6num 8927
 Description: A version of ac6 8928 which takes the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6num.1
Assertion
Ref Expression
ac6num
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   (,,)

Proof of Theorem ac6num
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfiu1 4299 . . . . . . . . 9
21nfel1 2626 . . . . . . . 8
3 ssiun2 4312 . . . . . . . . 9
4 ssexg 4542 . . . . . . . . . 10
54expcom 442 . . . . . . . . 9
63, 5syl5 32 . . . . . . . 8
72, 6ralrimi 2800 . . . . . . 7
8 dfiun2g 4301 . . . . . . 7
97, 8syl 17 . . . . . 6
10 eqid 2471 . . . . . . . 8
1110rnmpt 5086 . . . . . . 7
1211unieqi 4199 . . . . . 6
139, 12syl6eqr 2523 . . . . 5
14 id 22 . . . . 5
1513, 14eqeltrrd 2550 . . . 4
17 simp3 1032 . . . . 5
18 necom 2696 . . . . . . . 8
19 rabn0 3755 . . . . . . . 8
20 df-ne 2643 . . . . . . . 8
2118, 19, 203bitr3i 283 . . . . . . 7
2221ralbii 2823 . . . . . 6
23 ralnex 2834 . . . . . 6
2422, 23bitri 257 . . . . 5
2517, 24sylib 201 . . . 4
26 0ex 4528 . . . . 5
2710elrnmpt 5087 . . . . 5
2826, 27ax-mp 5 . . . 4
2925, 28sylnibr 312 . . 3
30 ac5num 8485 . . 3
3116, 29, 30syl2anc 673 . 2
32 ffn 5739 . . . . . 6
3332anim1i 578 . . . . 5
3473ad2ant2 1052 . . . . . . 7
35 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
36 id 22 . . . . . . . . 9
3735, 36eleq12d 2543 . . . . . . . 8
3810, 37ralrnmpt 6046 . . . . . . 7
3934, 38syl 17 . . . . . 6
4039anbi2d 718 . . . . 5
4133, 40syl5ib 227 . . . 4
423sseld 3417 . . . . . . . . . . 11
4342ralimia 2794 . . . . . . . . . 10
4443ad2antll 743 . . . . . . . . 9
45 nfv 1769 . . . . . . . . . 10
46 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . 11
4746, 1nfel 2624 . . . . . . . . . 10
48 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . 11
4948eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10
5045, 47, 49cbvral 3001 . . . . . . . . 9
5144, 50sylib 201 . . . . . . . 8
52 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10
5352, 46, 48cbvmpt 4487 . . . . . . . . 9
5453fmpt 6058 . . . . . . . 8
5551, 54sylib 201 . . . . . . 7
56 simpl1 1033 . . . . . . 7
57 simpl2 1034 . . . . . . 7
58 fex2 6767 . . . . . . 7
5955, 56, 57, 58syl3anc 1292 . . . . . 6
60 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . 11
6160sseli 3414 . . . . . . . . . 10
6261ralimi 2796 . . . . . . . . 9
6362ad2antll 743 . . . . . . . 8
64 eqid 2471 . . . . . . . . 9
6564fmpt 6058 . . . . . . . 8
6663, 65sylib 201 . . . . . . 7
67 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
6867elrabsf 3294 . . . . . . . . . 10
6968simprbi 471 . . . . . . . . 9
7069ralimi 2796 . . . . . . . 8
7170ad2antll 743 . . . . . . 7
7266, 71jca 541 . . . . . 6
73 feq1 5720 . . . . . . . 8
74 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . 10
7574nfeq2 2627 . . . . . . . . 9
76 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11
77 ac6num.1 . . . . . . . . . . 11
7876, 77sbcie 3290 . . . . . . . . . 10
79 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . 12
80 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . 13
8164fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . 13
8280, 81mpan2 685 . . . . . . . . . . . 12
8379, 82sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . 11
8483sbceq1d 3260 . . . . . . . . . 10
8578, 84syl5bbr 267 . . . . . . . . 9
8675, 85ralbida 2825 . . . . . . . 8
8773, 86anbi12d 725 . . . . . . 7
8887spcegv 3121 . . . . . 6
8959, 72, 88sylc 61 . . . . 5
9089ex 441 . . . 4
9141, 90syld 44 . . 3
9291exlimdv 1787 . 2
9331, 92mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  cab 2457   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031  wsbc 3255  csb 3349   wss 3390  c0 3722  cuni 4190  ciun 4269   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  ccrd 8387 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-en 7588  df-card 8391 This theorem is referenced by:  ac6  8928  ptcmplem3  21147  poimirlem32  32036
 Copyright terms: Public domain W3C validator