Theorem ac6num 8648

Description: A version of ac6 8649 which takes the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac6num.1	|- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ac6num	|- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )

Distinct variable groups:   x, f, A   y, f, B, x   ph, f   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, f)   A( y)   V( x, y, f)

Proof of Theorem ac6num

Dummy variables g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfiu1 4200	. . . . . . . . 9 |- F/_ x U_ x e. A { y e. B | ph }
2	1	nfel1 2589	. . . . . . . 8 |- F/ x U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card
3		ssiun2 4213	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } )
4		ssexg 4438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card ) -> { y e. B | ph } e. _V )
5	4	expcom 435	. . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> ( { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } -> { y e. B | ph } e. _V ) )
6	3, 5	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> ( x e. A -> { y e. B | ph } e. _V ) )
7	2, 6	ralrimi 2797	. . . . . . 7 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> A. x e. A { y e. B | ph } e. _V )
8		dfiun2g 4202	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A { y e. B | ph } e. _V -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } } )
9	7, 8	syl 16	. . . . . 6 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } } )
10		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = ( x e. A |-> { y e. B | ph } )
11	10	rnmpt 5085	. . . . . . 7 |- ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } }
12	11	unieqi 4100	. . . . . 6 |- U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } }
13	9, 12	syl6eqr 2493	. . . . 5 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
14		id 22	. . . . 5 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card )
15	13, 14	eqeltrrd 2518	. . . 4 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card )
16	15	3ad2ant2 1010	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card )
17		simp3 990	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> A. x e. A E. y e. B ph )
18		necom 2693	. . . . . . . 8 |- ( { y e. B | ph } =/= (/) <-> (/) =/= { y e. B | ph } )
19		rabn0 3657	. . . . . . . 8 |- ( { y e. B | ph } =/= (/) <-> E. y e. B ph )
20		df-ne 2608	. . . . . . . 8 |- ( (/) =/= { y e. B | ph } <-> -. (/) = { y e. B | ph } )
21	18, 19, 20	3bitr3i 275	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ph <-> -. (/) = { y e. B | ph } )
22	21	ralbii 2739	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> A. x e. A -. (/) = { y e. B | ph } )
23		ralnex 2725	. . . . . 6 |- ( A. x e. A -. (/) = { y e. B | ph } <-> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
24	22, 23	bitri 249	. . . . 5 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
25	17, 24	sylib 196	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
26		0ex 4422	. . . . 5 |- (/) e. _V
27	10	elrnmpt 5086	. . . . 5 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) <-> E. x e. A (/) = { y e. B | ph } ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 |- ( (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) <-> E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
29	25, 28	sylnibr 305	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> -. (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
30		ac5num 8206	. . 3 |- ( ( U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card /\ -. (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ) -> E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
31	16, 29, 30	syl2anc 661	. 2 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
32		ffn 5559	. . . . . 6 |- ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) -> g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
33	32	anim1i 568	. . . . 5 |- ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
34	7	3ad2ant2 1010	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> A. x e. A { y e. B | ph } e. _V )
35		fveq2 5691	. . . . . . . . 9 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( g ` z ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
36		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( z = { y e. B | ph } -> z = { y e. B | ph } )
37	35, 36	eleq12d 2511	. . . . . . . 8 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( ( g ` z ) e. z <-> ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
38	10, 37	ralrnmpt 5852	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A { y e. B | ph } e. _V -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z <-> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
39	34, 38	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z <-> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
40	39	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) <-> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) )
41	33, 40	syl5ib 219	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) )
42	3	sseld 3355	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } ) )
43	42	ralimia 2789	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
44	43	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
45		nfv 1673	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph }
46		nfcsb1v 3304	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } )
47	46, 1	nfel 2587	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph }
48		csbeq1a 3297	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( g ` { y e. B | ph } ) = [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) )
49	48	eleq1d 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } ) )
50	45, 47, 49	cbvral 2943	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
51	44, 50	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
52		nfcv 2579	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z ( g ` { y e. B | ph } )
53	52, 46, 48	cbvmpt 4382	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) = ( z e. A |-> [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) )
54	53	fmpt 5864	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } )
55	51, 54	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } )
56		simpl1 991	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A e. V )
57		simpl2 992	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card )
58		fex2 6532	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } /\ A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V )
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V )
60		ssrab2 3437	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. B | ph } C_ B
61	60	sseli 3352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
62	61	ralimi 2791	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
63	62	ad2antll 728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
64		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
65	64	fmpt 5864	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B )
66	63, 65	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B )
67		nfcv 2579	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y B
68	67	elrabsf 3225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } <-> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. B /\ [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
69	68	simprbi 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
70	69	ralimi 2791	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
71	70	ad2antll 728	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
72	66, 71	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
73		feq1 5542	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( f : A --> B <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B ) )
74		nfmpt1 4381	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
75	74	nfeq2 2590	. . . . . . . . 9 |- F/ x f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
76		fvex 5701	. . . . . . . . . . 11 |- ( f ` x ) e. _V
77		ac6num.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
78	76, 77	sbcie 3221	. . . . . . . . . 10 |- ( [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> ps )
79		fveq1 5690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( f ` x ) = ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) )
80		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g ` { y e. B | ph } ) e. _V
81	64	fvmpt2 5781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ ( g ` { y e. B | ph } ) e. _V ) -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
82	80, 81	mpan2 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
83	79, 82	sylan9eq 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
84		dfsbcq 3188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) -> ( [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
85	83, 84	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
86	78, 85	syl5bbr 259	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( ps <-> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
87	75, 86	ralbida 2729	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( A. x e. A ps <-> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
88	73, 87	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) <-> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) ) )
89	88	spcegv 3058	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V -> ( ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
90	59, 72, 89	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )
91	90	ex 434	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
92	41, 91	syld 44	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
93	92	exlimdv 1690	. 2 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
94	31, 93	mpd 15	1 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   {cab 2429   =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972   [.wsbc 3186   [_csb 3288   C_ wss 3328   (/)c0 3637   U.cuni 4091   U_ciun 4171   e. cmpt 4350   dom cdm 4840   ran crn 4841   Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418   cardccrd 8105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-en 7311  df-card 8109

This theorem is referenced by:  ac6  8649  ptcmplem3  19626