Theorem ac6num 8898

Description: A version of ac6 8899 which takes the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac6num.1	|- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ac6num	|- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )

Distinct variable groups:   x, f, A   y, f, B, x   ph, f   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, f)   A( y)   V( x, y, f)

Proof of Theorem ac6num

Dummy variables g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfiu1 4323	. . . . . . . . 9 |- F/_ x U_ x e. A { y e. B | ph }
2	1	nfel1 2598	. . . . . . . 8 |- F/ x U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card
3		ssiun2 4336	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } )
4		ssexg 4562	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card ) -> { y e. B | ph } e. _V )
5	4	expcom 436	. . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> ( { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } -> { y e. B | ph } e. _V ) )
6	3, 5	syl5 33	. . . . . . . 8 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> ( x e. A -> { y e. B | ph } e. _V ) )
7	2, 6	ralrimi 2823	. . . . . . 7 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> A. x e. A { y e. B | ph } e. _V )
8		dfiun2g 4325	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A { y e. B | ph } e. _V -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } } )
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } } )
10		eqid 2420	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = ( x e. A |-> { y e. B | ph } )
11	10	rnmpt 5091	. . . . . . 7 |- ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } }
12	11	unieqi 4222	. . . . . 6 |- U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } }
13	9, 12	syl6eqr 2479	. . . . 5 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
14		id 23	. . . . 5 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card )
15	13, 14	eqeltrrd 2509	. . . 4 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card )
16	15	3ad2ant2 1027	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card )
17		simp3 1007	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> A. x e. A E. y e. B ph )
18		necom 2691	. . . . . . . 8 |- ( { y e. B | ph } =/= (/) <-> (/) =/= { y e. B | ph } )
19		rabn0 3779	. . . . . . . 8 |- ( { y e. B | ph } =/= (/) <-> E. y e. B ph )
20		df-ne 2618	. . . . . . . 8 |- ( (/) =/= { y e. B | ph } <-> -. (/) = { y e. B | ph } )
21	18, 19, 20	3bitr3i 278	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ph <-> -. (/) = { y e. B | ph } )
22	21	ralbii 2854	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> A. x e. A -. (/) = { y e. B | ph } )
23		ralnex 2869	. . . . . 6 |- ( A. x e. A -. (/) = { y e. B | ph } <-> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
24	22, 23	bitri 252	. . . . 5 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
25	17, 24	sylib 199	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
26		0ex 4548	. . . . 5 |- (/) e. _V
27	10	elrnmpt 5092	. . . . 5 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) <-> E. x e. A (/) = { y e. B | ph } ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 |- ( (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) <-> E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
29	25, 28	sylnibr 306	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> -. (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
30		ac5num 8456	. . 3 |- ( ( U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card /\ -. (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ) -> E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
31	16, 29, 30	syl2anc 665	. 2 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
32		ffn 5737	. . . . . 6 |- ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) -> g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
33	32	anim1i 570	. . . . 5 |- ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
34	7	3ad2ant2 1027	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> A. x e. A { y e. B | ph } e. _V )
35		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( g ` z ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
36		id 23	. . . . . . . . 9 |- ( z = { y e. B | ph } -> z = { y e. B | ph } )
37	35, 36	eleq12d 2502	. . . . . . . 8 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( ( g ` z ) e. z <-> ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
38	10, 37	ralrnmpt 6037	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A { y e. B | ph } e. _V -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z <-> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
39	34, 38	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z <-> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
40	39	anbi2d 708	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) <-> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) )
41	33, 40	syl5ib 222	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) )
42	3	sseld 3460	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } ) )
43	42	ralimia 2814	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
44	43	ad2antll 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
45		nfv 1751	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph }
46		nfcsb1v 3408	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } )
47	46, 1	nfel 2595	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph }
48		csbeq1a 3401	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( g ` { y e. B | ph } ) = [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) )
49	48	eleq1d 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } ) )
50	45, 47, 49	cbvral 3049	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
51	44, 50	sylib 199	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
52		nfcv 2582	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z ( g ` { y e. B | ph } )
53	52, 46, 48	cbvmpt 4508	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) = ( z e. A |-> [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) )
54	53	fmpt 6049	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } )
55	51, 54	sylib 199	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } )
56		simpl1 1008	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A e. V )
57		simpl2 1009	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card )
58		fex2 6753	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } /\ A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V )
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V )
60		ssrab2 3543	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. B | ph } C_ B
61	60	sseli 3457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
62	61	ralimi 2816	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
63	62	ad2antll 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
64		eqid 2420	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
65	64	fmpt 6049	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B )
66	63, 65	sylib 199	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B )
67		nfcv 2582	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y B
68	67	elrabsf 3335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } <-> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. B /\ [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
69	68	simprbi 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
70	69	ralimi 2816	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
71	70	ad2antll 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
72	66, 71	jca 534	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
73		feq1 5719	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( f : A --> B <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B ) )
74		nfmpt1 4506	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
75	74	nfeq2 2599	. . . . . . . . 9 |- F/ x f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
76		fvex 5882	. . . . . . . . . . 11 |- ( f ` x ) e. _V
77		ac6num.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
78	76, 77	sbcie 3331	. . . . . . . . . 10 |- ( [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> ps )
79		fveq1 5871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( f ` x ) = ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) )
80		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g ` { y e. B | ph } ) e. _V
81	64	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ ( g ` { y e. B | ph } ) e. _V ) -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
82	80, 81	mpan2 675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
83	79, 82	sylan9eq 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
84	83	sbceq1d 3301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
85	78, 84	syl5bbr 262	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( ps <-> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
86	75, 85	ralbida 2856	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( A. x e. A ps <-> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
87	73, 86	anbi12d 715	. . . . . . 7 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) <-> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) ) )
88	87	spcegv 3164	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V -> ( ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
89	59, 72, 88	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )
90	89	ex 435	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
91	41, 90	syld 45	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
92	91	exlimdv 1768	. 2 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
93	31, 92	mpd 15	1 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1867   {cab 2405   =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774   {crab 2777   _Vcvv 3078   [.wsbc 3296   [_csb 3392   C_ wss 3433   (/)c0 3758   U.cuni 4213   U_ciun 4293   |-> cmpt 4475   dom cdm 4845   ran crn 4846   Fn wfn 5587   -->wf 5588   ` cfv 5592   cardccrd 8359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-ord 5436  df-on 5437  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-en 7569  df-card 8363

This theorem is referenced by:  ac6  8899  ptcmplem3  21006  poimirlem32  31720