Theorem ac6num 8927

Description: A version of ac6 8928 which takes the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac6num.1	|- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ac6num	|- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )

Distinct variable groups:   x, f, A   y, f, B, x   ph, f   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, f)   A( y)   V( x, y, f)

Proof of Theorem ac6num

Dummy variables g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfiu1 4299	. . . . . . . . 9 |- F/_ x U_ x e. A { y e. B | ph }
2	1	nfel1 2626	. . . . . . . 8 |- F/ x U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card
3		ssiun2 4312	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } )
4		ssexg 4542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card ) -> { y e. B | ph } e. _V )
5	4	expcom 442	. . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> ( { y e. B | ph } C_ U_ x e. A { y e. B | ph } -> { y e. B | ph } e. _V ) )
6	3, 5	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> ( x e. A -> { y e. B | ph } e. _V ) )
7	2, 6	ralrimi 2800	. . . . . . 7 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> A. x e. A { y e. B | ph } e. _V )
8		dfiun2g 4301	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A { y e. B | ph } e. _V -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } } )
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } } )
10		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = ( x e. A |-> { y e. B | ph } )
11	10	rnmpt 5086	. . . . . . 7 |- ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } }
12	11	unieqi 4199	. . . . . 6 |- U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) = U. { z | E. x e. A z = { y e. B | ph } }
13	9, 12	syl6eqr 2523	. . . . 5 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } = U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
14		id 22	. . . . 5 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card )
15	13, 14	eqeltrrd 2550	. . . 4 |- ( U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card -> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card )
16	15	3ad2ant2 1052	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card )
17		simp3 1032	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> A. x e. A E. y e. B ph )
18		necom 2696	. . . . . . . 8 |- ( { y e. B | ph } =/= (/) <-> (/) =/= { y e. B | ph } )
19		rabn0 3755	. . . . . . . 8 |- ( { y e. B | ph } =/= (/) <-> E. y e. B ph )
20		df-ne 2643	. . . . . . . 8 |- ( (/) =/= { y e. B | ph } <-> -. (/) = { y e. B | ph } )
21	18, 19, 20	3bitr3i 283	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ph <-> -. (/) = { y e. B | ph } )
22	21	ralbii 2823	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> A. x e. A -. (/) = { y e. B | ph } )
23		ralnex 2834	. . . . . 6 |- ( A. x e. A -. (/) = { y e. B | ph } <-> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
24	22, 23	bitri 257	. . . . 5 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
25	17, 24	sylib 201	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> -. E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
26		0ex 4528	. . . . 5 |- (/) e. _V
27	10	elrnmpt 5087	. . . . 5 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) <-> E. x e. A (/) = { y e. B | ph } ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 |- ( (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) <-> E. x e. A (/) = { y e. B | ph } )
29	25, 28	sylnibr 312	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> -. (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
30		ac5num 8485	. . 3 |- ( ( U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) e. dom card /\ -. (/) e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ) -> E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
31	16, 29, 30	syl2anc 673	. 2 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
32		ffn 5739	. . . . . 6 |- ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) -> g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) )
33	32	anim1i 578	. . . . 5 |- ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) )
34	7	3ad2ant2 1052	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> A. x e. A { y e. B | ph } e. _V )
35		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( g ` z ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
36		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( z = { y e. B | ph } -> z = { y e. B | ph } )
37	35, 36	eleq12d 2543	. . . . . . . 8 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( ( g ` z ) e. z <-> ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
38	10, 37	ralrnmpt 6046	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A { y e. B | ph } e. _V -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z <-> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
39	34, 38	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z <-> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) )
40	39	anbi2d 718	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) <-> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) )
41	33, 40	syl5ib 227	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) )
42	3	sseld 3417	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } ) )
43	42	ralimia 2794	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
44	43	ad2antll 743	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
45		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph }
46		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } )
47	46, 1	nfel 2624	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph }
48		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( g ` { y e. B | ph } ) = [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) )
49	48	eleq1d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } ) )
50	45, 47, 49	cbvral 3001	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
51	44, 50	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } )
52		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z ( g ` { y e. B | ph } )
53	52, 46, 48	cbvmpt 4487	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) = ( z e. A |-> [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) )
54	53	fmpt 6058	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A [_ z / x ]_ ( g ` { y e. B | ph } ) e. U_ x e. A { y e. B | ph } <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } )
55	51, 54	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } )
56		simpl1 1033	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A e. V )
57		simpl2 1034	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card )
58		fex2 6767	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> U_ x e. A { y e. B | ph } /\ A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V )
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V )
60		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. B | ph } C_ B
61	60	sseli 3414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
62	61	ralimi 2796	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
63	62	ad2antll 743	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B )
64		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
65	64	fmpt 6058	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. B <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B )
66	63, 65	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B )
67		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y B
68	67	elrabsf 3294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } <-> ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. B /\ [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
69	68	simprbi 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
70	69	ralimi 2796	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } -> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
71	70	ad2antll 743	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph )
72	66, 71	jca 541	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
73		feq1 5720	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( f : A --> B <-> ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B ) )
74		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
75	74	nfeq2 2627	. . . . . . . . 9 |- F/ x f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) )
76		fvex 5889	. . . . . . . . . . 11 |- ( f ` x ) e. _V
77		ac6num.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
78	76, 77	sbcie 3290	. . . . . . . . . 10 |- ( [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> ps )
79		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( f ` x ) = ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) )
80		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g ` { y e. B | ph } ) e. _V
81	64	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ ( g ` { y e. B | ph } ) e. _V ) -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
82	80, 81	mpan2 685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
83	79, 82	sylan9eq 2525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = ( g ` { y e. B | ph } ) )
84	83	sbceq1d 3260	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( [. ( f ` x ) / y ]. ph <-> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
85	78, 84	syl5bbr 267	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) /\ x e. A ) -> ( ps <-> [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
86	75, 85	ralbida 2825	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( A. x e. A ps <-> A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) )
87	73, 86	anbi12d 725	. . . . . . 7 |- ( f = ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) -> ( ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) <-> ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) ) )
88	87	spcegv 3121	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) e. _V -> ( ( ( x e. A |-> ( g ` { y e. B | ph } ) ) : A --> B /\ A. x e. A [. ( g ` { y e. B | ph } ) / y ]. ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
89	59, 72, 88	sylc 61	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )
90	89	ex 441	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g Fn ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. x e. A ( g ` { y e. B | ph } ) e. { y e. B | ph } ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
91	41, 90	syld 44	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
92	91	exlimdv 1787	. 2 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> ( E. g ( g : ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) --> U. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> { y e. B | ph } ) ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) ) )
93	31, 92	mpd 15	1 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A { y e. B | ph } e. dom card /\ A. x e. A E. y e. B ph ) -> E. f ( f : A --> B /\ A. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255   [_csb 3349   C_ wss 3390   (/)c0 3722   U.cuni 4190   U_ciun 4269   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589   cardccrd 8387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-en 7588  df-card 8391

This theorem is referenced by:  ac6  8928  ptcmplem3  21147  poimirlem32  32036