MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6n Structured version   Unicode version

Theorem ac6n 8865
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Contrapositive of ac6s 8864. (Contributed by NM, 10-Jun-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1  |-  A  e. 
_V
ac6s.2  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6n  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, y, B, f    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6n
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 ac6s.2 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
32notbid 294 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( -.  ph  <->  -.  ps )
)
41, 3ac6s 8864 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps ) )
54con3i 135 . 2  |-  ( -. 
E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps )  ->  -.  A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
6 dfrex2 2915 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ps  <->  -. 
A. x  e.  A  -.  ps )
76imbi2i 312 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps ) )
87albii 1620 . . 3  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  A. f ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps ) )
9 alinexa 1640 . . 3  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps )  <->  -.  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps )
)
108, 9bitri 249 . 2  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  -. 
E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps ) )
11 dfral2 2911 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ph  <->  -.  E. y  e.  B  -.  ph )
1211rexbii 2965 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  E. x  e.  A  -.  E. y  e.  B  -.  ph )
13 rexnal 2912 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  -.  E. y  e.  B  -.  ph  <->  -. 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
1412, 13bitri 249 . 2  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  -.  A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
155, 10, 143imtr4i 266 1  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   -->wf 5584   ` cfv 5588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-reg 8018  ax-inf2 8058  ax-ac2 8843
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-en 7517  df-r1 8182  df-rank 8183  df-card 8320  df-ac 8497
This theorem is referenced by:  nmobndseqiOLD  25399
  Copyright terms: Public domain W3C validator