MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6n Structured version   Unicode version

Theorem ac6n 8913
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Contrapositive of ac6s 8912. (Contributed by NM, 10-Jun-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1  |-  A  e. 
_V
ac6s.2  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6n  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, y, B, f    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6n
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 ac6s.2 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
32notbid 295 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( -.  ph  <->  -.  ps )
)
41, 3ac6s 8912 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps ) )
54con3i 140 . 2  |-  ( -. 
E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps )  ->  -.  A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
6 dfrex2 2883 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ps  <->  -. 
A. x  e.  A  -.  ps )
76imbi2i 313 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps ) )
87albii 1687 . . 3  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  A. f ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps ) )
9 alinexa 1710 . . 3  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps )  <->  -.  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps )
)
108, 9bitri 252 . 2  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  -. 
E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps ) )
11 dfral2 2879 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ph  <->  -.  E. y  e.  B  -.  ph )
1211rexbii 2934 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  E. x  e.  A  -.  E. y  e.  B  -.  ph )
13 rexnal 2880 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  -.  E. y  e.  B  -.  ph  <->  -. 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
1412, 13bitri 252 . 2  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  -.  A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
155, 10, 143imtr4i 269 1  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087   -->wf 5597   ` cfv 5601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-reg 8107  ax-inf2 8146  ax-ac2 8891
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-en 7578  df-r1 8234  df-rank 8235  df-card 8372  df-ac 8545
This theorem is referenced by:  nmobndseqiALT  26266
  Copyright terms: Public domain W3C validator