MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6n Structured version   Unicode version

Theorem ac6n 8859
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Contrapositive of ac6s 8858. (Contributed by NM, 10-Jun-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1  |-  A  e. 
_V
ac6s.2  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6n  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, y, B, f    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6n
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 ac6s.2 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
32notbid 295 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( -.  ph  <->  -.  ps )
)
41, 3ac6s 8858 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps ) )
54con3i 140 . 2  |-  ( -. 
E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps )  ->  -.  A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
6 dfrex2 2809 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ps  <->  -. 
A. x  e.  A  -.  ps )
76imbi2i 313 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps ) )
87albii 1685 . . 3  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  A. f ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps ) )
9 alinexa 1707 . . 3  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps )  <->  -.  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps )
)
108, 9bitri 252 . 2  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  -. 
E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps ) )
11 dfral2 2806 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ph  <->  -.  E. y  e.  B  -.  ph )
1211rexbii 2860 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  E. x  e.  A  -.  E. y  e.  B  -.  ph )
13 rexnal 2807 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  -.  E. y  e.  B  -.  ph  <->  -. 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
1412, 13bitri 252 . 2  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  -.  A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
155, 10, 143imtr4i 269 1  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   A.wral 2708   E.wrex 2709   _Vcvv 3016   -->wf 5533   ` cfv 5537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-reg 8053  ax-inf2 8092  ax-ac2 8837
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-om 6644  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-en 7518  df-r1 8180  df-rank 8181  df-card 8318  df-ac 8491
This theorem is referenced by:  nmobndseqiALT  26356
  Copyright terms: Public domain W3C validator