Theorem ac6gf 15749

Description: Axiom of Choice.

Hypotheses

Ref	Expression
ac6gf.1	|- (ps -> A.yps)
ac6gf.2	|- (y = (f` x) -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
ac6gf	|- ((A e. C /\ A.x e. A E.y e. B ph) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))

Distinct variable groups:   x,A,y,f   x,B,y,f   ph,f

Proof of Theorem ac6gf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. . . 4 |- (A e. C -> A e. _V)
2		dfsbcq 2455	. . . . . 6 |- (z = (f` x) -> ([z / y]ph <-> [(f` x) / y]ph))
3		fvex 4689	. . . . . . 7 |- (f` x) e. _V
4		ac6gf.1	. . . . . . . . 9 |- (ps -> A.yps)
5	4	a1i 8	. . . . . . . 8 |- ((f` x) e. _V -> (ps -> A.yps))
6		ac6gf.2	. . . . . . . 8 |- (y = (f` x) -> (ph <-> ps))
7	5, 6	sbciegf 2483	. . . . . . 7 |- ((f` x) e. _V -> ([(f` x) / y]ph <-> ps))
8	3, 7	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ([(f` x) / y]ph <-> ps)
9	2, 8	syl6bb 595	. . . . 5 |- (z = (f` x) -> ([z / y]ph <-> ps))
10	9	ac6sg 10188	. . . 4 |- (A e. _V -> (A.x e. A E.z e. B [z / y]ph -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps)))
11	1, 10	syl 12	. . 3 |- (A e. C -> (A.x e. A E.z e. B [z / y]ph -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps)))
12	11	imp 377	. 2 |- ((A e. C /\ A.x e. A E.z e. B [z / y]ph) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))
13		ax-17 1317	. . . 4 |- (ph -> A.zph)
14		visset 2295	. . . . 5 |- z e. _V
15	14	hbsbc1v 2464	. . . 4 |- ([z / y]ph -> A.y[z / y]ph)
16		sbceq1a 2456	. . . 4 |- (y = z -> (ph <-> [z / y]ph))
17	13, 15, 16	cbvrex 2279	. . 3 |- (E.y e. B ph <-> E.z e. B [z / y]ph)
18	17	ralbii 2127	. 2 |- (A.x e. A E.y e. B ph <-> A.x e. A E.z e. B [z / y]ph)
19	12, 18	sylan2b 501	1 |- ((A e. C /\ A.x e. A E.y e. B ph) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  [wsbc 1534  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  -->wf 3994  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  indexdom 15754

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-r1 5750  df-rank 5751

Copyright terms: Public domain