Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6gf Structured version   Unicode version

Theorem ac6gf 31807
Description: Axiom of Choice. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6gf.1  |-  F/ y ps
ac6gf.2  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6gf  |-  ( ( A  e.  C  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, f    x, B, y, f    ph, f
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, f)    C( x, y, f)

Proof of Theorem ac6gf
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cbvrexsv 3065 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph )
21ralbii 2854 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [ z  /  y ] ph )
3 ac6gf.1 . . . . 5  |-  F/ y ps
4 ac6gf.2 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
53, 4sbhypf 3125 . . . 4  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  ( [ z  /  y ] ph  <->  ps ) )
65ac6sg 8907 . . 3  |-  ( A  e.  C  ->  ( A. x  e.  A  E. z  e.  B  [ z  /  y ] ph  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
76imp 430 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
82, 7sylan2b 477 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659   F/wnf 1663   [wsb 1786    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   -->wf 5588   ` cfv 5592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-reg 8098  ax-inf2 8137  ax-ac2 8882
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-en 7569  df-r1 8225  df-rank 8226  df-card 8363  df-ac 8536
This theorem is referenced by:  indexdom  31809
  Copyright terms: Public domain W3C validator