Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6gf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ac6gf 32052
Description: Axiom of Choice. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6gf.1  |-  F/ y ps
ac6gf.2  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6gf  |-  ( ( A  e.  C  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, f    x, B, y, f    ph, f
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, f)    C( x, y, f)

Proof of Theorem ac6gf
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cbvrexsv 3030 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph )
21ralbii 2818 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [ z  /  y ] ph )
3 ac6gf.1 . . . . 5  |-  F/ y ps
4 ac6gf.2 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
53, 4sbhypf 3094 . . . 4  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  ( [ z  /  y ] ph  <->  ps ) )
65ac6sg 8915 . . 3  |-  ( A  e.  C  ->  ( A. x  e.  A  E. z  e.  B  [ z  /  y ] ph  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
76imp 431 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
82, 7sylan2b 478 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443   E.wex 1662   F/wnf 1666   [wsb 1796    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   -->wf 5577   ` cfv 5581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-reg 8104  ax-inf2 8143  ax-ac2 8890
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-en 7567  df-r1 8232  df-rank 8233  df-card 8370  df-ac 8544
This theorem is referenced by:  indexdom  32054
  Copyright terms: Public domain W3C validator