MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6c4 Structured version   Unicode version

Theorem ac6c4 8762
Description: Equivalent of Axiom of Choice.  B is a collection  B ( x ) of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1  |-  A  e. 
_V
ac6c4.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ac6c4  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
Distinct variable groups:    A, f, x    B, f
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ac6c4
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1674 . . . 4  |-  F/ z  B  =/=  (/)
2 nfcsb1v 3412 . . . . 5  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
3 nfcv 2616 . . . . 5  |-  F/_ x (/)
42, 3nfne 2783 . . . 4  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/)
5 csbeq1a 3405 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
65neeq1d 2729 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( B  =/=  (/)  <->  [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/) ) )
71, 4, 6cbvral 3049 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  <->  A. z  e.  A  [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/) )
8 n0 3755 . . . . 5  |-  ( [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/)  <->  E. y  y  e. 
[_ z  /  x ]_ B )
9 nfv 1674 . . . . . 6  |-  F/ y  z  e.  A
10 nfre1 2891 . . . . . 6  |-  F/ y E. y  e.  U_  x  e.  A  B
y  e.  [_ z  /  x ]_ B
112nfel2 2634 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  y  e.  [_ z  /  x ]_ B
125eleq2d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  y  e.  [_ z  /  x ]_ B ) )
1311, 12rspce 3174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  e.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
14 eliun 4284 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  B )
1513, 14sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  e.  [_ z  /  x ]_ B )  -> 
y  e.  U_ x  e.  A  B )
16 rspe 2895 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B )
1715, 16sylancom 667 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  e.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B )
1817ex 434 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  (
y  e.  [_ z  /  x ]_ B  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B ) )
199, 10, 18exlimd 1852 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  ->  ( E. y  y  e.  [_ z  /  x ]_ B  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B
y  e.  [_ z  /  x ]_ B ) )
208, 19syl5bi 217 . . . 4  |-  ( z  e.  A  ->  ( [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/)  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B
) )
2120ralimia 2817 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/)  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B )
227, 21sylbi 195 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B
)
23 ac6c4.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
24 ac6c4.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
2523, 24iunex 6668 . . 3  |-  U_ x  e.  A  B  e.  _V
26 eleq1 2526 . . 3  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
y  e.  [_ z  /  x ]_ B  <->  ( f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B
) )
2723, 25, 26ac6 8761 . 2  |-  ( A. z  e.  A  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e. 
[_ z  /  x ]_ B  ->  E. f
( f : A --> U_ x  e.  A  B  /\  A. z  e.  A  ( f `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B ) )
28 ffn 5668 . . . 4  |-  ( f : A --> U_ x  e.  A  B  ->  f  Fn  A )
29 nfv 1674 . . . . . 6  |-  F/ z ( f `  x
)  e.  B
302nfel2 2634 . . . . . 6  |-  F/ x
( f `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B
31 fveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
f `  x )  =  ( f `  z ) )
3231, 5eleq12d 2536 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( f `  x
)  e.  B  <->  ( f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B
) )
3329, 30, 32cbvral 3049 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  B  <->  A. z  e.  A  ( f `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )
3433biimpri 206 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  (
f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B  ->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
)
3528, 34anim12i 566 . . 3  |-  ( ( f : A --> U_ x  e.  A  B  /\  A. z  e.  A  ( f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B )  -> 
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
3635eximi 1626 . 2  |-  ( E. f ( f : A --> U_ x  e.  A  B  /\  A. z  e.  A  ( f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B
)  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
3722, 27, 363syl 20 1  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   [_csb 3396   (/)c0 3746   U_ciun 4280    Fn wfn 5522   -->wf 5523   ` cfv 5527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-ac2 8744
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-recs 6943  df-en 7422  df-card 8221  df-ac 8398
This theorem is referenced by:  ac6c5  8763  ac9  8764
  Copyright terms: Public domain W3C validator