Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6c4 Structured version   Unicode version

Theorem ac6c4 8918
 Description: Equivalent of Axiom of Choice. is a collection of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1
ac6c4.2
Assertion
Ref Expression
ac6c4
Distinct variable groups:   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ac6c4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1755 . . . 4
2 nfcsb1v 3411 . . . . 5
3 nfcv 2580 . . . . 5
42, 3nfne 2752 . . . 4
5 csbeq1a 3404 . . . . 5
65neeq1d 2697 . . . 4
71, 4, 6cbvral 3050 . . 3
8 n0 3771 . . . . 5
9 nfv 1755 . . . . . 6
10 nfre1 2883 . . . . . 6
112nfel2 2598 . . . . . . . . . 10
125eleq2d 2492 . . . . . . . . . 10
1311, 12rspce 3177 . . . . . . . . 9
14 eliun 4304 . . . . . . . . 9
1513, 14sylibr 215 . . . . . . . 8
16 rspe 2880 . . . . . . . 8
1715, 16sylancom 671 . . . . . . 7
1817ex 435 . . . . . 6
199, 10, 18exlimd 1974 . . . . 5
208, 19syl5bi 220 . . . 4
2120ralimia 2813 . . 3
227, 21sylbi 198 . 2
23 ac6c4.1 . . 3
24 ac6c4.2 . . . 4
2523, 24iunex 6787 . . 3
26 eleq1 2495 . . 3
2723, 25, 26ac6 8917 . 2
28 ffn 5746 . . . 4
29 nfv 1755 . . . . . 6
302nfel2 2598 . . . . . 6
31 fveq2 5881 . . . . . . 7
3231, 5eleq12d 2501 . . . . . 6
3329, 30, 32cbvral 3050 . . . . 5
3433biimpri 209 . . . 4
3528, 34anim12i 568 . . 3
3635eximi 1701 . 2
3722, 27, 363syl 18 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370  wex 1657   wcel 1872   wne 2614  wral 2771  wrex 2772  cvv 3080  csb 3395  c0 3761  ciun 4299   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-ac2 8900 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-en 7581  df-card 8381  df-ac 8554 This theorem is referenced by:  ac6c5  8919  ac9  8920
 Copyright terms: Public domain W3C validator