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Theorem ac5num 8434
Description: A version of ac5b 8875 with the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ac5num  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) )
Distinct variable group:    x, f, A

Proof of Theorem ac5num
Dummy variables  g 
r  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3118 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  U. A  e.  _V )
2 uniexb 6609 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
31, 2sylibr 212 . . . 4  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  A  e.  _V )
4 dfac8b 8429 . . . 4  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  E. r  r  We  U. A )
5 dfac8c 8431 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. r  r  We  U. A  ->  E. g A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
63, 4, 5sylc 60 . . 3  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  E. g A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )
76adantr 465 . 2  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. g A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )
8 nelne2 2787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  x  =/=  (/) )
98ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  (/)  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  =/=  (/) )
109adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  x  =/=  (/) )
11 pm2.27 39 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  ->  (
g `  x )  e.  x ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  ->  (
g `  x )  e.  x ) )
1312ralimdva 2865 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
)  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  x
) )
1413imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  x
)
15 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
g `  x )  =  ( g `  y ) )
16 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
1715, 16eleq12d 2539 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  x
)  e.  x  <->  ( g `  y )  e.  y ) )
1817rspccva 3209 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  x  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  e.  y )
1914, 18sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  /\  y  e.  A )  ->  (
g `  y )  e.  y )
20 elunii 4256 . . . . . 6  |-  ( ( ( g `  y
)  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  e.  U. A
)
2119, 20sylancom 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  /\  y  e.  A )  ->  (
g `  y )  e.  U. A )
22 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  |->  ( g `
 y ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )
2321, 22fmptd 6056 . . . 4  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A
)
243ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  A  e.  _V )
251ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  U. A  e.  _V )
26 fex2 6754 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) : A --> U. A  /\  A  e. 
_V  /\  U. A  e. 
_V )  ->  (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  e.  _V )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  e.  _V )
28 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
g `  y )  =  ( g `  x ) )
29 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
3028, 22, 29fvmpt 5956 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  =  ( g `
 x ) )
3130eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x  <->  ( g `  x )  e.  x ) )
3231ralbiia 2887 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x  <->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  x
)
3314, 32sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  A. x  e.  A  ( (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x )
3423, 33jca 532 . . 3  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x ) )
35 feq1 5719 . . . . 5  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( f : A --> U. A  <->  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A ) )
36 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( f `  x
)  =  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x ) )
3736eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( ( f `  x )  e.  x  <->  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x ) )
3837ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x  <->  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x ) )
3935, 38anbi12d 710 . . . 4  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  x )  <->  ( (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x
) ) )
4039spcegv 3195 . . 3  |-  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  e.  _V  ->  ( ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) ) )
4127, 34, 40sylc 60 . 2  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  E. f
( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x
) )
427, 41exlimddv 1727 1  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   U.cuni 4251    |-> cmpt 4515    We wwe 4846   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594   cardccrd 8333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-en 7536  df-card 8337
This theorem is referenced by:  numacn  8447  ac5b  8875  ac6num  8876
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