Theorem ac2 5704

Description: Axiom of Choice equivalent. By using restricted quantifiers, we can express the Axiom of Choice with a single explicit conjunction. (If you want to figure it out, the rewritten equivalent ac3 5705 is easier to understand.) Note: aceq0 5688 shows the logical equivalence to ax-ac 5702.

Assertion

Ref	Expression
ac2	|- E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)

Distinct variable group:   x,y,z,w,v,u

Proof of Theorem ac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-ac 5702	. 2 |- E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v))
2		aceq0 5688	. 2 |- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)))
3	1, 2	mpbir 206	1 |- E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 162   /\ wa 239  A.wal 1134   = wceq 1136   e. wcel 1138  E.wex 1164  A.wral 1939  E.wrex 1940  E!wreu 1941

This theorem is referenced by:  ac3 5705  ac7 5706

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-ac 5702

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945

Copyright terms: Public domain