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Theorem abvtri 17993
Description: An absolute value satisfies the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvtri.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
abvtri  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .+  Y ) )  <_  ( ( F `
 X )  +  ( F `  Y
) ) )

Proof of Theorem abvtri
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21abvrcl 17984 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
3 abvf.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 abvtri.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  R )
5 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
71, 3, 4, 5, 6isabv 17982 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
82, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
98ibi 244 . . . . 5  |-  ( F  e.  A  ->  ( F : B --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) ) ) )
109simprd 464 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )
11 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  (
x  .+  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
1211ralimi 2825 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  (
( F `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )  ->  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )
1312adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )  ->  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
1413ralimi 2825 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
1510, 14syl 17 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
16 oveq1 6312 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .+  y )  =  ( X  .+  y ) )
1716fveq2d 5885 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( F `  ( X  .+  y ) ) )
18 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
1918oveq1d 6320 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 X )  +  ( F `  y
) ) )
2017, 19breq12d 4439 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  (
x  .+  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( X  .+  y
) )  <_  (
( F `  X
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
21 oveq2 6313 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  y )  =  ( X  .+  Y
) )
2221fveq2d 5885 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( F `  ( X  .+  y ) )  =  ( F `  ( X  .+  Y ) ) )
23 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( F `  y )  =  ( F `  Y ) )
2423oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( F `  X
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 X )  +  ( F `  Y
) ) )
2522, 24breq12d 4439 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( F `  ( X  .+  y ) )  <_  ( ( F `
 X )  +  ( F `  y
) )  <->  ( F `  ( X  .+  Y
) )  <_  (
( F `  X
)  +  ( F `
 Y ) ) ) )
2620, 25rspc2v 3197 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  -> 
( F `  ( X  .+  Y ) )  <_  ( ( F `
 X )  +  ( F `  Y
) ) ) )
2715, 26syl5com 31 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( F `  ( X  .+  Y
) )  <_  (
( F `  X
)  +  ( F `
 Y ) ) ) )
28273impib 1203 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .+  Y ) )  <_  ( ( F `
 X )  +  ( F `  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   class class class wbr 4426   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538    + caddc 9541    x. cmul 9543   +oocpnf 9671    <_ cle 9675   [,)cico 11637   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153   0gc0g 15297   Ringcrg 17715  AbsValcabv 17979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7482  df-abv 17980
This theorem is referenced by:  abvsubtri  17998  abvres  18002  abvcxp  24316  qabvle  24326  ostth2lem2  24335  ostth3  24339
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