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Theorem abvtri 17279
Description: An absolute value satisfies the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvtri.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
abvtri  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .+  Y ) )  <_  ( ( F `
 X )  +  ( F `  Y
) ) )

Proof of Theorem abvtri
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21abvrcl 17270 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
3 abvf.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 abvtri.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  R )
5 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
71, 3, 4, 5, 6isabv 17268 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
82, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
98ibi 241 . . . . 5  |-  ( F  e.  A  ->  ( F : B --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) ) ) )
109simprd 463 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )
11 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  (
x  .+  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
1211ralimi 2857 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  (
( F `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )  ->  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )
1312adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )  ->  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
1413ralimi 2857 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
1510, 14syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
16 oveq1 6291 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .+  y )  =  ( X  .+  y ) )
1716fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( F `  ( X  .+  y ) ) )
18 fveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
1918oveq1d 6299 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 X )  +  ( F `  y
) ) )
2017, 19breq12d 4460 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  (
x  .+  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( X  .+  y
) )  <_  (
( F `  X
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
21 oveq2 6292 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  y )  =  ( X  .+  Y
) )
2221fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( F `  ( X  .+  y ) )  =  ( F `  ( X  .+  Y ) ) )
23 fveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( F `  y )  =  ( F `  Y ) )
2423oveq2d 6300 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( F `  X
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 X )  +  ( F `  Y
) ) )
2522, 24breq12d 4460 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( F `  ( X  .+  y ) )  <_  ( ( F `
 X )  +  ( F `  y
) )  <->  ( F `  ( X  .+  Y
) )  <_  (
( F `  X
)  +  ( F `
 Y ) ) ) )
2620, 25rspc2v 3223 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  -> 
( F `  ( X  .+  Y ) )  <_  ( ( F `
 X )  +  ( F `  Y
) ) ) )
2715, 26syl5com 30 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( F `  ( X  .+  Y
) )  <_  (
( F `  X
)  +  ( F `
 Y ) ) ) )
28273impib 1194 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .+  Y ) )  <_  ( ( F `
 X )  +  ( F `  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   class class class wbr 4447   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492    + caddc 9495    x. cmul 9497   +oocpnf 9625    <_ cle 9629   [,)cico 11531   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556   0gc0g 14695   Ringcrg 17000  AbsValcabv 17265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-map 7422  df-abv 17266
This theorem is referenced by:  abvsubtri  17284  abvres  17288  abvcxp  23556  qabvle  23566  ostth2lem2  23575  ostth3  23579
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