MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvrcl Structured version   Unicode version

Theorem abvrcl 17339
Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
Assertion
Ref Expression
abvrcl  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )

Proof of Theorem abvrcl
Dummy variables  x  y  f  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abv 17335 . . . 4  |- AbsVal  =  ( r  e.  Ring  |->  { f  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  ( Base `  r )
)  |  A. x  e.  ( Base `  r
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  r ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) } )
21dmmptss 5509 . . 3  |-  dom AbsVal  C_  Ring
3 elfvdm 5898 . . 3  |-  ( F  e.  (AbsVal `  R
)  ->  R  e.  dom AbsVal )
42, 3sseldi 3507 . 2  |-  ( F  e.  (AbsVal `  R
)  ->  R  e.  Ring )
5 abvf.a . 2  |-  A  =  (AbsVal `  R )
64, 5eleq2s 2575 1  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   class class class wbr 4453   dom cdm 5005   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   0cc0 9504    + caddc 9507    x. cmul 9509   +oocpnf 9637    <_ cle 9641   [,)cico 11543   Basecbs 14506   +g cplusg 14571   .rcmulr 14572   0gc0g 14711   Ringcrg 17068  AbsValcabv 17334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fv 5602  df-abv 17335
This theorem is referenced by:  abvfge0  17340  abveq0  17344  abvmul  17347  abvtri  17348  abv0  17349  abv1z  17350  abvneg  17352  abvsubtri  17353  abvpropd  17360  abvmet  20962  nrgring  21038  tngnrg  21049  abvcxp  23664
  Copyright terms: Public domain W3C validator