MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvrcl Structured version   Unicode version

Theorem abvrcl 16886
Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
Assertion
Ref Expression
abvrcl  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )

Proof of Theorem abvrcl
Dummy variables  x  y  f  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abv 16882 . . . 4  |- AbsVal  =  ( r  e.  Ring  |->  { f  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  ( Base `  r )
)  |  A. x  e.  ( Base `  r
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  r ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) } )
21dmmptss 5331 . . 3  |-  dom AbsVal  C_  Ring
3 elfvdm 5713 . . 3  |-  ( F  e.  (AbsVal `  R
)  ->  R  e.  dom AbsVal )
42, 3sseldi 3351 . 2  |-  ( F  e.  (AbsVal `  R
)  ->  R  e.  Ring )
5 abvf.a . 2  |-  A  =  (AbsVal `  R )
64, 5eleq2s 2533 1  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   class class class wbr 4289   dom cdm 4836   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   0cc0 9278    + caddc 9281    x. cmul 9283   +oocpnf 9411    <_ cle 9415   [,)cico 11298   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235   0gc0g 14374   Ringcrg 16635  AbsValcabv 16881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fv 5423  df-abv 16882
This theorem is referenced by:  abvfge0  16887  abveq0  16891  abvmul  16894  abvtri  16895  abv0  16896  abv1z  16897  abvneg  16899  abvsubtri  16900  abvpropd  16907  abvmet  20127  nrgrng  20203  tngnrg  20214  abvcxp  22823
  Copyright terms: Public domain W3C validator