MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvpropd Structured version   Unicode version

Theorem abvpropd 18005
Description: If two structures have the same ring components, they have the same collection of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
abvpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
abvpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
abvpropd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
abvpropd  |-  ( ph  ->  (AbsVal `  K )  =  (AbsVal `  L )
)
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    x, L, y    ph, x, y

Proof of Theorem abvpropd
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvpropd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 abvpropd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3 abvpropd.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
4 abvpropd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
51, 2, 3, 4ringpropd 17747 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Ring  <->  L  e.  Ring ) )
61, 2eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  K
)  =  ( Base `  L ) )
76feq2d 5733 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f : (
Base `  K ) --> ( 0 [,) +oo ) 
<->  f : ( Base `  L ) --> ( 0 [,) +oo ) ) )
81, 2, 3grpidpropd 16455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
98adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( 0g `  K )  =  ( 0g `  L
) )
109eqeq2d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  =  ( 0g
`  K )  <->  x  =  ( 0g `  L ) ) )
1110bibi2d 319 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  K ) )  <-> 
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  L ) ) ) )
124fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  (
x ( .r `  K ) y ) )  =  ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) ) )
1312eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( f `  ( x ( .r
`  K ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  <-> 
( f `  (
x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) ) ) )
143fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  (
x ( +g  `  K
) y ) )  =  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) ) )
1514breq1d 4436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) )  <->  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )
1613, 15anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( f `  ( x ( .r
`  L ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )
1716anassrs 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
( ( f `  ( x ( .r
`  K ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( f `  ( x ( .r
`  L ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )
1817ralbidva 2868 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( .r
`  K ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( .r
`  L ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )
1911, 18anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
2019ralbidva 2868 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `  (
x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( +g  `  L
) y ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  ( f `  y
) ) ) ) ) )
211raleqdv 3038 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  (
x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( +g  `  K
) y ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  ( f `  y
) ) ) ) )
2221anbi2d 708 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
231, 22raleqbidv 3046 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  K
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
242raleqdv 3038 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  (
x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( +g  `  L
) y ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  ( f `  y
) ) ) ) )
2524anbi2d 708 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  ( x ( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
262, 25raleqbidv 3046 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
2720, 23, 263bitr3d 286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( Base `  K
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  (
Base `  L )
( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
287, 27anbi12d 715 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )  <->  ( f : ( Base `  L
) --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
295, 28anbi12d 715 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )  <->  ( L  e.  Ring  /\  ( f : ( Base `  L
) --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) ) )
30 eqid 2429 . . . . 5  |-  (AbsVal `  K )  =  (AbsVal `  K )
3130abvrcl 17984 . . . 4  |-  ( f  e.  (AbsVal `  K
)  ->  K  e.  Ring )
32 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
33 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
34 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( .r
`  K )  =  ( .r `  K
)
35 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( 0g
`  K )  =  ( 0g `  K
)
3630, 32, 33, 34, 35isabv 17982 . . . 4  |-  ( K  e.  Ring  ->  ( f  e.  (AbsVal `  K
)  <->  ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
3731, 36biadan2 646 . . 3  |-  ( f  e.  (AbsVal `  K
)  <->  ( K  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
38 eqid 2429 . . . . 5  |-  (AbsVal `  L )  =  (AbsVal `  L )
3938abvrcl 17984 . . . 4  |-  ( f  e.  (AbsVal `  L
)  ->  L  e.  Ring )
40 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
41 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
42 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( .r
`  L )  =  ( .r `  L
)
43 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
4438, 40, 41, 42, 43isabv 17982 . . . 4  |-  ( L  e.  Ring  ->  ( f  e.  (AbsVal `  L
)  <->  ( f : ( Base `  L
) --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
4539, 44biadan2 646 . . 3  |-  ( f  e.  (AbsVal `  L
)  <->  ( L  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  L
) --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
4629, 37, 453bitr4g 291 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  (AbsVal `  K )  <->  f  e.  (AbsVal `  L ) ) )
4746eqrdv 2426 1  |-  ( ph  ->  (AbsVal `  K )  =  (AbsVal `  L )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   class class class wbr 4426   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538    + caddc 9541    x. cmul 9543   +oocpnf 9671    <_ cle 9675   [,)cico 11637   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153   0gc0g 15297   Ringcrg 17715  AbsValcabv 17979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-mgp 17659  df-ring 17717  df-abv 17980
This theorem is referenced by:  tngnrg  21608  abvpropd2  28251
  Copyright terms: Public domain W3C validator