Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvpropd Structured version   Unicode version

Theorem abvpropd 18006
 Description: If two structures have the same ring components, they have the same collection of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvpropd.1
abvpropd.2
abvpropd.3
abvpropd.4
Assertion
Ref Expression
abvpropd AbsVal AbsVal
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem abvpropd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvpropd.1 . . . . 5
2 abvpropd.2 . . . . 5
3 abvpropd.3 . . . . 5
4 abvpropd.4 . . . . 5
51, 2, 3, 4ringpropd 17748 . . . 4
61, 2eqtr3d 2458 . . . . . 6
76feq2d 5669 . . . . 5
81, 2, 3grpidpropd 16440 . . . . . . . . . . 11
98adantr 466 . . . . . . . . . 10
109eqeq2d 2432 . . . . . . . . 9
1110bibi2d 319 . . . . . . . 8
124fveq2d 5822 . . . . . . . . . . . 12
1312eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . 11
143fveq2d 5822 . . . . . . . . . . . 12
1514breq1d 4369 . . . . . . . . . . 11
1613, 15anbi12d 715 . . . . . . . . . 10
1716anassrs 652 . . . . . . . . 9
1817ralbidva 2795 . . . . . . . 8
1911, 18anbi12d 715 . . . . . . 7
2019ralbidva 2795 . . . . . 6
211raleqdv 2964 . . . . . . . 8
2221anbi2d 708 . . . . . . 7
231, 22raleqbidv 2972 . . . . . 6
242raleqdv 2964 . . . . . . . 8
2524anbi2d 708 . . . . . . 7
262, 25raleqbidv 2972 . . . . . 6
2720, 23, 263bitr3d 286 . . . . 5
287, 27anbi12d 715 . . . 4
295, 28anbi12d 715 . . 3
30 eqid 2422 . . . . 5 AbsVal AbsVal
3130abvrcl 17985 . . . 4 AbsVal
32 eqid 2422 . . . . 5
33 eqid 2422 . . . . 5
34 eqid 2422 . . . . 5
35 eqid 2422 . . . . 5
3630, 32, 33, 34, 35isabv 17983 . . . 4 AbsVal
3731, 36biadan2 646 . . 3 AbsVal
38 eqid 2422 . . . . 5 AbsVal AbsVal
3938abvrcl 17985 . . . 4 AbsVal
40 eqid 2422 . . . . 5
41 eqid 2422 . . . . 5
42 eqid 2422 . . . . 5
43 eqid 2422 . . . . 5
4438, 40, 41, 42, 43isabv 17983 . . . 4 AbsVal
4539, 44biadan2 646 . . 3 AbsVal
4629, 37, 453bitr4g 291 . 2 AbsVal AbsVal
4746eqrdv 2420 1 AbsVal AbsVal
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wral 2708   class class class wbr 4359  wf 5533  cfv 5537  (class class class)co 6242  cc0 9483   caddc 9486   cmul 9488   cpnf 9616   cle 9620  cico 11581  cbs 15057   cplusg 15126  cmulr 15127  c0g 15274  crg 17716  AbsValcabv 17980 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-iun 4237  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-om 6644  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10554  df-2 10612  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-plusg 15139  df-0g 15276  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-grp 16609  df-mgp 17660  df-ring 17718  df-abv 17981 This theorem is referenced by:  tngnrg  21612  abvpropd2  28357
 Copyright terms: Public domain W3C validator