MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvgt0 Structured version   Unicode version

Theorem abvgt0 17021
Description: The absolute value of a nonzero number is strictly positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abveq0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
abvgt0  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <  ( F `  X ) )

Proof of Theorem abvgt0
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2abvcl 17017 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  RR )
433adant3 1008 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( F `  X
)  e.  RR )
51, 2abvge0 17018 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  X ) )
653adant3 1008 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <_  ( F `  X ) )
7 abveq0.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
81, 2, 7abvne0 17020 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( F `  X
)  =/=  0 )
94, 6, 8ne0gt0d 9614 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <  ( F `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4392   ` cfv 5518   RRcr 9384   0cc0 9385    < clt 9521    <_ cle 9522   Basecbs 14278   0gc0g 14482  AbsValcabv 17009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-ico 11409  df-abv 17010
This theorem is referenced by:  abvres  17032  abvcxp  22982  ostth2  23004  ostth3  23005
  Copyright terms: Public domain W3C validator