MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvgt0 Structured version   Unicode version

Theorem abvgt0 16836
Description: The absolute value of a nonzero number is strictly positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abveq0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
abvgt0  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <  ( F `  X ) )

Proof of Theorem abvgt0
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2abvcl 16832 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  RR )
433adant3 1001 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( F `  X
)  e.  RR )
51, 2abvge0 16833 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  X ) )
653adant3 1001 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <_  ( F `  X ) )
7 abveq0.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
81, 2, 7abvne0 16835 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( F `  X
)  =/=  0 )
94, 6, 8ne0gt0d 9498 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <  ( F `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   class class class wbr 4280   ` cfv 5406   RRcr 9268   0cc0 9269    < clt 9405    <_ cle 9406   Basecbs 14156   0gc0g 14360  AbsValcabv 16824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-ico 11293  df-abv 16825
This theorem is referenced by:  abvres  16847  abvcxp  22748  ostth2  22770  ostth3  22771
  Copyright terms: Public domain W3C validator