MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvgt0 Structured version   Unicode version

Theorem abvgt0 17797
Description: The absolute value of a nonzero number is strictly positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abveq0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
abvgt0  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <  ( F `  X ) )

Proof of Theorem abvgt0
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2abvcl 17793 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  RR )
433adant3 1017 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( F `  X
)  e.  RR )
51, 2abvge0 17794 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  X ) )
653adant3 1017 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <_  ( F `  X ) )
7 abveq0.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
81, 2, 7abvne0 17796 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( F `  X
)  =/=  0 )
94, 6, 8ne0gt0d 9754 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <  ( F `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4395   ` cfv 5569   RRcr 9521   0cc0 9522    < clt 9658    <_ cle 9659   Basecbs 14841   0gc0g 15054  AbsValcabv 17785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-ico 11588  df-abv 17786
This theorem is referenced by:  abvres  17808  abvcxp  24181  ostth2  24203  ostth3  24204
  Copyright terms: Public domain W3C validator