MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvge0 Structured version   Unicode version

Theorem abvge0 17257
Description: The absolute value of a number is greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
abvge0  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  X ) )

Proof of Theorem abvge0
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2abvfge0 17254 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> ( 0 [,) +oo ) )
43ffvelrnda 6019 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
5 elrege0 11623 . . 3  |-  ( ( F `  X )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 X )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  X
) ) )
65simprbi 464 . 2  |-  ( ( F `  X )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_ 
( F `  X
) )
74, 6syl 16 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   +oocpnf 9621    <_ cle 9625   [,)cico 11527   Basecbs 14486  AbsValcabv 17248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-ico 11531  df-abv 17249
This theorem is referenced by:  abvgt0  17260  abvneg  17266  abvcxp  23528  ostth2lem2  23547
  Copyright terms: Public domain W3C validator