MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvf Structured version   Unicode version

Theorem abvf 17041
Description: An absolute value is a function from the ring to the real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
abvf  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> RR )

Proof of Theorem abvf
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . 3  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2abvfge0 17040 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> ( 0 [,) +oo ) )
4 0re 9501 . . 3  |-  0  e.  RR
5 pnfxr 11207 . . 3  |- +oo  e.  RR*
6 icossre 11491 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
74, 5, 6mp2an 672 . 2  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
8 fss 5678 . 2  |-  ( ( F : B --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : B --> RR )
93, 7, 8sylancl 662 1  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3439   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9396   0cc0 9397   +oocpnf 9530   RR*cxr 9532   [,)cico 11417   Basecbs 14296  AbsValcabv 17034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-ico 11421  df-abv 17035
This theorem is referenced by:  abvcl  17042  abvres  17057  abvmet  20310  tngnrg  20397  ostthlem1  23019
  Copyright terms: Public domain W3C validator