MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvf Structured version   Unicode version

Theorem abvf 16831
Description: An absolute value is a function from the ring to the real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
abvf  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> RR )

Proof of Theorem abvf
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . 3  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2abvfge0 16830 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> ( 0 [,) +oo ) )
4 0re 9373 . . 3  |-  0  e.  RR
5 pnfxr 11079 . . 3  |- +oo  e.  RR*
6 icossre 11363 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
74, 5, 6mp2an 665 . 2  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
8 fss 5555 . 2  |-  ( ( F : B --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : B --> RR )
93, 7, 8sylancl 655 1  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755    C_ wss 3316   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9268   0cc0 9269   +oocpnf 9402   RR*cxr 9404   [,)cico 11289   Basecbs 14156  AbsValcabv 16824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-ico 11293  df-abv 16825
This theorem is referenced by:  abvcl  16832  abvres  16847  abvmet  20009  tngnrg  20096  ostthlem1  22760
  Copyright terms: Public domain W3C validator