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Theorem abvcxp 23521
Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvcxp.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvcxp.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvcxp.f  |-  G  =  ( x  e.  B  |->  ( ( F `  x )  ^c  S ) )
Assertion
Ref Expression
abvcxp  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  G  e.  A
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, R    x, S
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem abvcxp
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvcxp.a . . 3  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  A  =  (AbsVal `  R ) )
3 abvcxp.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
43a1i 11 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  B  =  (
Base `  R )
)
5 eqidd 2461 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  R ) )
6 eqidd 2461 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  R ) )
7 eqidd 2461 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  R ) )
81abvrcl 17246 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
98adantr 465 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  R  e.  Ring )
101, 3abvcl 17249 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
1110adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
121, 3abvge0 17250 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  x ) )
1312adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
14 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )
15 0xr 9629 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
16 1re 9584 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
17 elioc2 11576 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( S  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) ) )
1815, 16, 17mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) )
1914, 18sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) )
2019simp1d 1003 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  e.  RR )
2120adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  RR )
2211, 13, 21recxpcld 22825 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( F `  x
)  ^c  S )  e.  RR )
23 abvcxp.f . . 3  |-  G  =  ( x  e.  B  |->  ( ( F `  x )  ^c  S ) )
2422, 23fmptd 6036 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  G : B --> RR )
25 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
263, 25rng0cl 17000 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
279, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( 0g `  R )  e.  B
)
28 fveq2 5857 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 0g `  R ) ) )
2928oveq1d 6290 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  (
( F `  x
)  ^c  S )  =  ( ( F `  ( 0g
`  R ) )  ^c  S ) )
30 ovex 6300 . . . . 5  |-  ( ( F `  ( 0g
`  R ) )  ^c  S )  e.  _V
3129, 23, 30fvmpt 5941 . . . 4  |-  ( ( 0g `  R )  e.  B  ->  ( G `  ( 0g `  R ) )  =  ( ( F `  ( 0g `  R ) )  ^c  S ) )
3227, 31syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( G `  ( 0g `  R ) )  =  ( ( F `  ( 0g
`  R ) )  ^c  S ) )
331, 25abv0 17256 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
3433adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
3534oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( ( F `
 ( 0g `  R ) )  ^c  S )  =  ( 0  ^c  S ) )
3620recnd 9611 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  e.  CC )
3719simp2d 1004 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  0  <  S
)
3837gt0ne0d 10106 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  =/=  0
)
3936, 380cxpd 22812 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( 0  ^c  S )  =  0 )
4035, 39eqtrd 2501 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( ( F `
 ( 0g `  R ) )  ^c  S )  =  0 )
4132, 40eqtrd 2501 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( G `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
42 simp1l 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  F  e.  A )
43 simp2 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  y  e.  B )
441, 3abvcl 17249 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( F `  y
)  e.  RR )
4542, 43, 44syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
461, 3, 25abvgt0 17253 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
0  <  ( F `  y ) )
47463adant1r 1216 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  0  <  ( F `  y
) )
4845, 47elrpd 11243 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( F `  y )  e.  RR+ )
49203ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  S  e.  RR )
5048, 49rpcxpcld 22832 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  (
( F `  y
)  ^c  S )  e.  RR+ )
5150rpgt0d 11248 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  0  <  ( ( F `  y )  ^c  S ) )
52 fveq2 5857 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
5352oveq1d 6290 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  ^c  S )  =  ( ( F `  y )  ^c  S ) )
54 ovex 6300 . . . . 5  |-  ( ( F `  y )  ^c  S )  e.  _V
5553, 23, 54fvmpt 5941 . . . 4  |-  ( y  e.  B  ->  ( G `  y )  =  ( ( F `
 y )  ^c  S ) )
5643, 55syl 16 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( G `  y )  =  ( ( F `
 y )  ^c  S ) )
5751, 56breqtrrd 4466 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  0  <  ( G `  y
) )
58 simp1l 1015 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  F  e.  A
)
59 simp2l 1017 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  y  e.  B
)
60 simp3l 1019 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  z  e.  B
)
61 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
621, 3, 61abvmul 17254 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  (
y ( .r `  R ) z ) )  =  ( ( F `  y )  x.  ( F `  z ) ) )
6358, 59, 60, 62syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( y ( .r
`  R ) z ) )  =  ( ( F `  y
)  x.  ( F `
 z ) ) )
6463oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( .r `  R ) z ) )  ^c  S )  =  ( ( ( F `  y )  x.  ( F `  z )
)  ^c  S ) )
6558, 59, 44syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
661, 3abvge0 17250 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  y ) )
6758, 59, 66syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  ( F `  y )
)
681, 3abvcl 17249 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
6958, 60, 68syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
701, 3abvge0 17250 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  z ) )
7158, 60, 70syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  ( F `  z )
)
72363ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  e.  CC )
7365, 67, 69, 71, 72mulcxpd 22830 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  x.  ( F `  z ) )  ^c  S )  =  ( ( ( F `  y )  ^c  S )  x.  (
( F `  z
)  ^c  S ) ) )
7464, 73eqtrd 2501 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( .r `  R ) z ) )  ^c  S )  =  ( ( ( F `  y )  ^c  S )  x.  (
( F `  z
)  ^c  S ) ) )
7593ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  R  e.  Ring )
763, 61rngcl 16992 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
y ( .r `  R ) z )  e.  B )
7775, 59, 60, 76syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( y ( .r `  R ) z )  e.  B
)
78 fveq2 5857 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( .r `  R ) z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y ( .r
`  R ) z ) ) )
7978oveq1d 6290 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( .r `  R ) z )  ->  (
( F `  x
)  ^c  S )  =  ( ( F `  ( y ( .r `  R
) z ) )  ^c  S ) )
80 ovex 6300 . . . . 5  |-  ( ( F `  ( y ( .r `  R
) z ) )  ^c  S )  e.  _V
8179, 23, 80fvmpt 5941 . . . 4  |-  ( ( y ( .r `  R ) z )  e.  B  ->  ( G `  ( y
( .r `  R
) z ) )  =  ( ( F `
 ( y ( .r `  R ) z ) )  ^c  S ) )
8277, 81syl 16 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( .r
`  R ) z ) )  =  ( ( F `  (
y ( .r `  R ) z ) )  ^c  S ) )
8359, 55syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  y )  =  ( ( F `  y
)  ^c  S ) )
84 fveq2 5857 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
8584oveq1d 6290 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  ^c  S )  =  ( ( F `  z )  ^c  S ) )
86 ovex 6300 . . . . . 6  |-  ( ( F `  z )  ^c  S )  e.  _V
8785, 23, 86fvmpt 5941 . . . . 5  |-  ( z  e.  B  ->  ( G `  z )  =  ( ( F `
 z )  ^c  S ) )
8860, 87syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  z )  =  ( ( F `  z
)  ^c  S ) )
8983, 88oveq12d 6293 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  x.  ( G `  z
) )  =  ( ( ( F `  y )  ^c  S )  x.  (
( F `  z
)  ^c  S ) ) )
9074, 82, 893eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( .r
`  R ) z ) )  =  ( ( G `  y
)  x.  ( G `
 z ) ) )
91 rnggrp 16984 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
9275, 91syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  R  e.  Grp )
93 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
943, 93grpcl 15857 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B )
9592, 59, 60, 94syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B
)
961, 3abvcl 17249 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B )  -> 
( F `  (
y ( +g  `  R
) z ) )  e.  RR )
9758, 95, 96syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  e.  RR )
981, 3abvge0 17250 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B )  -> 
0  <_  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) ) )
9958, 95, 98syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  ( F `  ( y
( +g  `  R ) z ) ) )
100193ad2ant1 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) )
101100simp1d 1003 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  e.  RR )
10297, 99, 101recxpcld 22825 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^c  S )  e.  RR )
10365, 69readdcld 9612 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 y )  +  ( F `  z
) )  e.  RR )
10465, 69, 67, 71addge0d 10117 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  (
( F `  y
)  +  ( F `
 z ) ) )
105103, 104, 101recxpcld 22825 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^c  S )  e.  RR )
10665, 67, 101recxpcld 22825 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 y )  ^c  S )  e.  RR )
10769, 71, 101recxpcld 22825 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 z )  ^c  S )  e.  RR )
108106, 107readdcld 9612 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  ^c  S )  +  ( ( F `
 z )  ^c  S ) )  e.  RR )
1091, 3, 93abvtri 17255 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  (
y ( +g  `  R
) z ) )  <_  ( ( F `
 y )  +  ( F `  z
) ) )
11058, 59, 60, 109syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  <_  ( ( F `  y )  +  ( F `  z ) ) )
111100simp2d 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <  S
)
112101, 111elrpd 11243 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  e.  RR+ )
11397, 99, 103, 104, 112cxple2d 22829 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  <_ 
( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  <->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^c  S )  <_  (
( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^c  S ) ) )
114110, 113mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^c  S )  <_  (
( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^c  S ) )
115100simp3d 1005 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  <_  1
)
11665, 67, 69, 71, 112, 115cxpaddle 22847 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^c  S )  <_  (
( ( F `  y )  ^c  S )  +  ( ( F `  z
)  ^c  S ) ) )
117102, 105, 108, 114, 116letrd 9727 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^c  S )  <_  (
( ( F `  y )  ^c  S )  +  ( ( F `  z
)  ^c  S ) ) )
118 fveq2 5857 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  R ) z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) ) )
119118oveq1d 6290 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  R ) z )  ->  (
( F `  x
)  ^c  S )  =  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^c  S ) )
120 ovex 6300 . . . . 5  |-  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^c  S )  e.  _V
121119, 23, 120fvmpt 5941 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  R
) z )  e.  B  ->  ( G `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  =  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^c  S ) )
12295, 121syl 16 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  =  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^c  S ) )
12383, 88oveq12d 6293 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  +  ( G `  z
) )  =  ( ( ( F `  y )  ^c  S )  +  ( ( F `  z
)  ^c  S ) ) )
124117, 122, 1233brtr4d 4470 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  <_  ( ( G `  y )  +  ( G `  z ) ) )
1252, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124isabvd 17245 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  G  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   (,]cioc 11519   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   .rcmulr 14545   0gc0g 14684   Grpcgrp 15716   Ringcrg 16979  AbsValcabv 17241    ^c ccxp 22664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-mgp 16925  df-rng 16981  df-abv 17242  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665  df-cxp 22666
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