MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abv0 Structured version   Unicode version

Theorem abv0 17351
Description: The absolute value of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abv0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
abv0  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  .0.  )  =  0 )

Proof of Theorem abv0
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21abvrcl 17341 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 abv0.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
53, 4ring0cl 17092 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
62, 5syl 16 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
7 eqid 2467 . . 3  |-  .0.  =  .0.
81, 3, 4abveq0 17346 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( F `  .0.  )  =  0  <->  .0.  =  .0.  ) )
97, 8mpbiri 233 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( F `  .0.  )  =  0 )
106, 9mpdan 668 1  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  .0.  )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594   0cc0 9504   Basecbs 14507   0gc0g 14712   Ringcrg 17070  AbsValcabv 17336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-map 7434  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-ring 17072  df-abv 17337
This theorem is referenced by:  abvdom  17358  abvres  17359  abvcxp  23666  qabvle  23676  ostthlem1  23678  ostth2lem2  23685  ostth3  23689
  Copyright terms: Public domain W3C validator